Bourne var sønn av en engelsk embedsmann og en irsk mor. Han begynte i 1867 med skolegang ved St. Cuthbert College i Ushaw Moor i County Durham og fortsatte i 1877 på St. Edmund’s College i Ware. Han trådte inn i dominikanerordenen i Woodchester, men forlot den allerede i 1880.[trenger referanse]
Den 11. juni 1884 ble han presteviet, og virket frem til 1889 domsjelesorger i Blackheath i London, Mortlake og West Grinstead. Bourne var fra 1889 til 1891 rektor for konviktet i Henfield Place, og begynte på samme tid å undervise ved St. Johns Seminary i Wonersh. Der ble han rektor den 14. mars 1896.
Koadjutorbiskop, så biskop av Southwalk
Den 27. mars 1896 ble han koadjutorbiskop av bispedømmet Southwark i London. Etter biskop John Baptist Butts fratreden ble han ordinarie biskop av Southwark den 9. april 1897.
Erkebiskop av Westminster
Den 11.september 1903 ble han utnevnt til erkebiskop av Westminster, og var dermed en fremste av de engelske katolske kirkeledere.
Bourne ble lagt merke til da han i 1908 han i strid med en statlig forføyning, som først hadde hindret ham i å gjennomføre en eukaristisk prosesjon innen rammene av en eukaristisk kongress, gav den sakramentale velsignelse fra Westminster Cathedralsloggia.[trenger referanse]
Bourne reagerte mot Ramsay MacDonalds forlangende om at erkebiskopen på grunn av en tolkning av Pius XIs sosialencyklika Quadragesimo anno skulle forby katolikker å bli sosialistene, med å slå fast: «Det er intet i encyklikaen som skulle avskrekke katolikker fra å bli medlemmer av det britiske Labour Party…».[trenger referanse] Men kardinalen formante katolikkene om å være på vakt mot «de falske prinsipper som mange ganger influerer partiene».[trenger referanse]
Den heller konservative Bourne var motstander av modernistene.[trenger referanse] Han støttet verken religionsdialog eller økumenikk (han var for eksempel motstander av Mechelen-samtalene mellom prominente anglikanere og katolikker).[trenger referanse] Han fordømte både utvidede muligheter til skilsmisse og streikerett.[trenger referanse] Han ønsket også at Storbritannia skulle anerkjenne den katolske kirke som sin statsreligion.[trenger referanse] Han var gikk inn for at de arabiske palestinere skulle få flere rettigheter i det daværende britiske mandatområdet Palestina, og fordømte volden i Irland.[trenger referanse]
Han døde etter ett års sykdom i sin erkebiskoppelige residens i London i en alder av 73 år.