Ein kontinuerleg funksjon er ein matematisk funksjon som er slik at om ein gjer små endringar i det ein set inn i funksjonen, så vil det medføre små endringar i det som kjem ut av funksjonen. Elles vil ein funksjon vere diskontinuerleg. Sagt på ein meir upresis måte så er ein kontinuerleg funksjon ein funksjon ein kan teikne som ein graf på eit papir utan å løfte blyanten. Ein kontinuerleg funksjon med ein kontinuerleg invers funksjon vert kalla bikontinuerleg.

Kontinuiteten til funksjonar er eit av dei viktigaste omgrepa i topologi.

Eit døme på ein kontinuerleg funksjon er funksjonen h(t) som kan skildre høgda til veksande gras med tida t. Denne funksjonen er kontinuerleg. I klassisk fysikk seier ein at i naturen er alt kontinuerleg. Eit døme på ein diskontinuerleg funksjon er P(t) som kan seie kor mykje pengar som står på ein bankkonto. Om ein ved eit tidspunkt tek pengar ut av kontoen, vil funksjonen gjere eit hopp. Han er altså diskontinuerleg.

Dei viktigaste resultata for kontinuerlege reelle funksjonar er skjeringssetninga og ekstremalverdisetninga.

Vi ser her på funksjonar ${\displaystyle f}$ der definisjonsmengda og verdimengda er delmengder av reelle tal. Ofte er slike funksjoner gjevne ved formeluttrykk. Vi har følgjande tre ekvivalente definisjonar:

La ${\displaystyle a}$ vere eit punkt i definisjonsmengda til ${\displaystyle f}$. Vi seier at ${\displaystyle f}$ er kontinuerleg i ${\displaystyle a}$ dersom det for kvar ${\displaystyle \epsilon >0}$ finst ein ${\displaystyle \delta >0}$ slik at

${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\epsilon }$ når ${\displaystyle |x-a|<\delta }$ og ${\displaystyle x}$ ligg i definisjonsmengda til ${\displaystyle f}$.

Funksjonen ${\displaystyle f}$ vert kalla kontinuerleg dersom ${\displaystyle f}$ er kontinuerleg i alle punkt i definisjonsmengda.

La ${\displaystyle a}$ vere eit punkt i definisjonsmengda til ${\displaystyle f}$. Vi seier at ${\displaystyle f}$ er kontinuerleg i ${\displaystyle a}$ dersom ${\displaystyle a}$ er eit isolert punkt i definisjonsmengda eller grenseverdien ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)}$ eksisterer og er lik ${\displaystyle f(a)}$. Funksjonen ${\displaystyle f}$ vert kalla kontinuerleg dersom ${\displaystyle f}$ er kontinuerleg i alle punkt i definisjonsmengda.

La ${\displaystyle a}$ vere eit punkt i definisjonsmengda til ${\displaystyle f}$. Vi seier at ${\displaystyle f}$ er kontinuerleg i ${\displaystyle a}$ dersom for kvar følgje ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ av punkt i definisjonsmengda med ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a}$, så eksisterer grenseverdien ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})}$ og er lik ${\displaystyle f(a)}$. Funksjonen ${\displaystyle f}$ vert kalla kontinuerleg dersom ${\displaystyle f}$ er kontinuerleg i alle punkt i definisjonsmengda.

Følgjande funksjonar er kontinuerlege:

• ${\displaystyle f(x)=c}$, hvor ${\displaystyle c}$ er ein konstant.
• ${\displaystyle f(x)=x}$
• Absoluttverdien ${\displaystyle f(x)=|x|}$
• n-te potensar ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$
• n-te røter ${\displaystyle f(x)={\sqrt[{n}]{x}}}$
• Dei trigonometriske funksjonane ${\displaystyle \sin(x)}$, ${\displaystyle \cos(x)}$, ${\displaystyle \tan(x)}$ og ${\displaystyle \cot(x)}$
• Eksponentialfunksjonen ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$
• Logaritmefunksjonen ${\displaystyle f(x)=\ln(x)}$
• Arcusfunksjonane ${\displaystyle \arcsin(x)}$, ${\displaystyle \arccos(x)}$ og ${\displaystyle \arctan(x)}$
• Dei hyperbolske funksjonanen ${\displaystyle \sinh(x)}$, ${\displaystyle \cosh(x)}$, ${\displaystyle \tanh(x)}$ og ${\displaystyle \coth(x)}$

Funksjonen ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&\operatorname {viss} \quad x\neq 0,\\1&\operatorname {viss} \quad x=0\end{cases}}}$ er ikkje kontinuerleg i ${\displaystyle 0}$.

Funksjonen ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&\operatorname {viss} \quad x\quad \operatorname {rasjonal} ,\\1&\operatorname {viss} \quad x\quad \operatorname {irrasjonal} \end{cases}}}$ er ikkje kontinuerleg i noko punkt.

Dersom ein reell funksjon ${\displaystyle f}$ er gjeven ved ein formel, så er det upraktisk å bruke definisjonen til å avgjere om ${\displaystyle f}$ er kontinuerleg. I staden nyttar ein teoremet som seier at dersom funksjonen ${\displaystyle f}$ er bygd opp av kontinuerlege funksjonar ved operasjonane addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og samansetting, så er òg ${\displaystyle f}$ kontinuerleg i hele definisjonsmengda si.

Døme:

• ${\displaystyle f(x)=x^{2}+4}$ kontinuerleg sidan ${\displaystyle f}$ er summen av dei kontinuerlege funksjonane ${\displaystyle x^{2}}$ og ${\displaystyle 4}$.
• ${\displaystyle f(x)=\sin(2x)}$ er kontinuerleg sidan ${\displaystyle f}$ er samansetninga av ${\displaystyle \sin(x)}$ med produktet ${\displaystyle 2x}$.
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ er kontinuerleg sidan ${\displaystyle f}$ er den kontinuerlege funksjonen ${\displaystyle 1}$ delt på den kontinuerlege funksjonen ${\displaystyle x}$. Merk at ${\displaystyle f}$ ikkje er diskontinuerleg i ${\displaystyle x=0}$, men berre udefinert i dette punktet. Vidare er det umogeleg å utvide definisjonsområdet til ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ slik at ${\displaystyle f}$ vert kontinuerleg i ${\displaystyle 0}$.

Skjeringssetninga: Tenk at ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$ er ein kontinuerleg funksjon der ${\displaystyle f(a)}$ og ${\displaystyle f(b)}$ har motsette fortegn. Då finst eit tal ${\displaystyle c}$ mellom ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ slik at ${\displaystyle f(c)=0}$.

Ekstremalverdisetninga: La ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$ vere ein kontinuerleg funksjon definert på eit lukka, avgrensa intervall. Då eksisterer både maksimumspunkt og minimumspunkt for ${\displaystyle f}$.

Kontinuitet for ein kompleks funksjon ${\displaystyle f}$ av ein kompleks variabel ${\displaystyle z}$ vert definert på same måte som kontinuitet for reelle funksjonar av ein reell variabel.

Kontinuitet for ein funksjon ${\displaystyle f}$ av fleire variable ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ vert definert på same måte som kontinuitet for reelle funksjonar av ein reell variabel.

Følgjande døme syner at ein må vere litt forsiktig når ein ser på kontinuitet til funksjonar av fleire variable: La ${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1&\operatorname {viss} \quad x=0\quad \operatorname {eller} \quad y=0,\\0&\operatorname {elles} .\end{cases}}}$ Selv om ${\displaystyle x\mapsto f(x,0)}$ og ${\displaystyle y\mapsto f(0,y)}$ begge er kontinuerlege i ${\displaystyle 0}$, så er ikkje ${\displaystyle (x,y)\mapsto f(x,y)}$ kontinuerleg i ${\displaystyle (0,0)}$.

La ${\displaystyle X}$ og ${\displaystyle Y}$ vere metriske rom med metrikkane ${\displaystyle d}$ og ${\displaystyle \rho }$. Ein funksjon ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ er kontinuerleg i punktet ${\displaystyle a\in X}$ dersom det for alle ${\displaystyle \epsilon >0}$ finst ein ${\displaystyle \delta >0}$ slik at

${\displaystyle \rho (f(x),f(a))<\epsilon }$ for alle ${\displaystyle x\in X}$ med ${\displaystyle d(x,a)<\delta }$.

Ein funksjon er kontinuerleg dersom funksjonen er kontinuerleg i alle punkt ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle X}$.

La ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ vere ein funksjon mellom metriske rom og la ${\displaystyle a}$ vere eit punkt i ${\displaystyle X}$. Vi seier at ${\displaystyle f}$ er kontinuerleg i ${\displaystyle a}$ dersom ${\displaystyle a}$ er eit isolert punkt i ${\displaystyle X}$ eller grenseverdien ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)}$ eksisterer og er lik ${\displaystyle f(a)}$. Funksjonen ${\displaystyle f}$ vert kalla kontinuerleg dersom ${\displaystyle f}$ er kontinuerleg i alle punkt i ${\displaystyle X}$.

La ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ vere ein funksjon mellom metriske rom og la ${\displaystyle a}$ vere eit punkt i definisjonsmengda til ${\displaystyle f}$. Vi seier at ${\displaystyle f}$ er kontinuerleg i ${\displaystyle a}$ dersom for kvar følgje ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ av punkt i ${\displaystyle X}$ med ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a}$, så eksisterer grenseverdien ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})}$ og er lik ${\displaystyle f(a)}$. Funksjonen ${\displaystyle f}$ vert kalla kontinuerleg dersom ${\displaystyle f}$ er kontinuerleg i alle punkt i ${\displaystyle X}$.

Ein funksjon ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ mellom topologiske rom er kontinuerleg dersom ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ er ei open mengd i ${\displaystyle X}$ for kvar opne mengd ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle Y}$.

Ein kan òg gje ein ekvivalent definisjon ved bruk av omegnsstrukturar. Ein slik definisjon viser at kontinuitet er ein lokal eigenskap.

Merk at samansetninga av to kontinuerlege funksjonar er kontinuerleg.

Følgjande to resultater generaliserer skjeringssetninga og ekstremalverdisetninga:

• Biletet av ei samanhengande mengd under ein kontinuerleg funksjon er samanhengande.
• Biletet av ei kompakt mengd under ein kontinuerleg funksjon er kompakt.