Davitasjvili speelde in de jeugdopleiding van Dinamo Tbilisi en brak in 2017 door bij die club. Op 29 september maakte de middenvelder zijn debuut, toen tegen Kolcheti Poti met 1–1 gelijkgespeeld werd. Hij mocht in de basis starten en werd na tweeënzeventig minuten gewisseld.[1] In januari 2018 verkaste Davitasjvili naar Lokomotivi Tbilisi. Anderhalf jaar later verliet hij Georgië, toen hij de overstap maakte naar Roebin Kazan. Bij de Russische club zette hij zijn handtekening onder een verbintenis voor de duur van vier seizoenen.[2] Davitasjvili werd in augustus 2020 voor het seizoen 2020/21 verhuurd aan Rotor Volgograd.[3]
Medio 2021 stapte hij over naar Arsenal Toela.[4] Davitasjvili keerde in maart 2022 na de Russische invasie van Oekraïne terug naar Georgië, waar hij voor Dinamo Batoemi ging voetballen.[5] Aan het begin van het seizoen 2022/23 huurde Girondins Bordeaux hem voor de rest van de jaargang.[6] Na deze verhuurperiode nam de Franse club hem definitief over voor circa 1,25 miljoen euro.[7] Een jaar later werd hij met winst doorverkocht. Promovendus Saint-Étienne nam de middenvelder over voor circa zes miljoen euro.[8]
In mei 2024 werd Davitasjvili door bondscoach Willy Sagnol opgenomen in de selectie van Georgië voor het EK 2024 in Duitsland.[12] Georgië overleefde de groepsfase na een nederlaag tegen Turkije (3–1), een gelijkspel tegen Tsjechië (1–1) en een overwinning op Portugal (2–0), waarna Spanje in de achtste finales met 4–1 te sterk was. Davitasjvili speelde in alle wedstrijden mee. Zijn toenmalige clubgenoot Žan Vipotnik (Slovenië) was ook actief op het EK.