De reine stemming of stemming van Zarlino is een stemming met een toonladder waarin de muzikale intervallen bestaan uit breuken van kleine gehele getallen: 2/1 voor het octaaf, 3/2 voor de kwint, 4/3 voor de kwart, 5/4 voor de grote terts, en 6/5 voor de kleine terts. De overige intervallen (zoals de grote en kleine secunde) worden van deze verhoudingen afgeleid. De reine stemming werd in de 16e eeuw ontwikkeld door de Italiaanse muziektheoreticus Gioseffo Zarlino.[1]
Onafhankelijk van de stemming wordt de term 'rein' ook gebruikt voor de intervallen reine kwart en reine kwint ter onderscheiding van de verminderde en overmatige vormen.
Verhouding tot de boventoonreeks
De reine stemming is gebaseerd op de harmonische boventoonreeks. Bij iedere toon die gespeeld of gezongen wordt klinken namelijk boventonen mee, die een veelvoud zijn van de grondtoon. De eerste boventoon klinkt bijvoorbeeld tweemaal zo hoog als de grondtoon, en kan dus weergegeven worden met de breuk 2/1. De eerste boventonen van de grondtoon hebben de volgende toonafstanden:
Eerste boventoon (2/1): octaaf
Tweede boventoon (3/1): octaaf + kwint
Derde boventoon (4/1): 2 octaven
Vierde boventoon (5/1): 2 octaven + grote terts
Vijfde boventoon (6/1): 2 octaven + kwint
Deze tonen kunnen op een snaarinstrument gespeeld worden door een snaar 2 keer zo kort te maken, of 3 keer zo kort etcetera.
Gebaseerd op deze boventonen kunnen de toonafstanden van de reine stemming vastgesteld worden. Een kwint komt bijvoorbeeld overeen met het verschil tussen de eerste boventoon (2/1) en de tweede boventoon (3/1) en krijgt daarom de breuk 3/2. Een reine kwart komt overeen met het verschil tussen de tweede boventoon (3/1) en de derde boventoon (4/1), en krijgt daarom de breuk 4/3. Een overzicht:
Een octaaf geldt als volmaakt consonant. Na het octaaf worden de reine kwint (3/2) en de reine kwart (4/3) als consonant ervaren. De beide tertsen en sexten worden als onvolkomen consonant beschouwd.
Opmerkelijk is dat de grote secunde op twee manieren gestemd kan worden. Ten eerste als het verschil tussen een kwint en een kwart: (3/2)/(4/3) = 9/8, ten tweede als het verschil tussen een kwart en een kleine terts: (4/3)/ (6/5) = 10/9. Er is dus een klein verschil in toonhoogte: (9/8)/(10/9) = 81/80. Dit verschil in toonhoogte wordt het didymische komma genoemd.
Toonladders in reine stemming
Reine majeurladder De reine majeur-toonladder is de 7-tonige groteterts-ladder (do-ladder, ionische ladder) met als frequentie-verhoudingen:
naam
do
re
mi
fa
so
la
ti
(do)
verhouding met grondtoon
1/1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
2/1
verhouding onderling
9/8
10/9
16/15
9/8
10/9
9/8
16/15
Reine mineurladder Wat de natuurlijke kleineterts-ladder (la-ladder, eolische ladder) betreft, kan de benaming reine mineur-toonladder niet alleen de op de la-positie beginnende reine majeurladder
verhouding met grondtoon
1/1
9/8
6/5
27/20
3/2
8/5
9/5
2/1
verhouding onderling
9/8
16/15
9/8
10/9
16/15
9/8
10/9
aanduiden, maar ook de daaruit door verwisseling van een 'grote' en een 'kleine' hele toonafstand ontstane ladder
verhouding met grondtoon
1/1
9/8
6/5
4/3
3/2
8/5
9/5
2/1
verhouding onderling
9/8
16/15
10/9
9/8
16/15
9/8
10/9
met een echt reine vierde trap (kwart) 4/3.
Geen reine 12-tonige ladder Er zijn meerdere voorstellen gedaan om de reine zeventonige ladder met nog vijf 'tussentonen' aan te vullen tot een twaalftonige ladder; tot één canonieke versie heeft dat echter niet geleid.
Modulatie
Kwintmodulaties
Onderstaande tabel toont het resultaat van opeenvolgende verschuivingen van de reine grotetertstoonladder (onderaan) over telkens een reine kwint (of een reine kwart in de andere richting, dat komt op hetzelfde neer). Nieuwe tonen zijn steeds met octaafstappen teruggebracht tot het uitgangsoctaaf.
In elke regel geldt voor twee van de zeven tonen dat ze in de regel erboven niet meer voorkomen: steeds verdwijnen de toonhoogtes van fa en la, en komen er twee nieuwe toonhoogtes bij: de ene - ti - vrijwel midden tussen de oude fa en so in, de andere - re - 22 cents (81/80, een didymisch komma) boven de oude la. Bij verschuiving over een kwint omlaag zijn het de toonhoogtes van re en ti die niet (niet precies) terugkomen.
Na drie kwintverschuivingen is er nog één oorspronkelijke toonhoogte over. Na twaalf kwintverschuivingen valt het resultaat (na zeven octaven terugschuiven) vrijwel samen met de uitgangsladder, het verschil is 23,46 cent ( (3/2)12, in de tabel 24 cent door cumulatieve afronding). Krap 1/8 hele toon.
Elke kwintverschuiving van de reine majeurladder geeft twee andere toonhoogtes; in de cellen staat de relatieve naam van de ladderpositie en de afstand in cents tot de grondtoon linksonder.
do 24
re 228
mi 410
fa 522
so 726
la 908
ti 1112
do 1224
so 24
la 206
ti 410
do 522
re 726
mi 908
fa 1020
so 1224
re 24
mi 206
fa 318
so 522
la 704
ti 908
do 1020
re 1224
la 2
ti 206
do 318
re 522
mi 704
fa 816
so 1020
la 1202
mi 2
fa 114
so 318
la 500
ti 704
do 816
re 1020
mi 1202
ti 2
do 114
re 318
mi 500
fa 612
so 816
la 998
ti 1202
so 114
la 296
ti 500
do 612
re 816
mi 998
fa 1110
re 114
mi 296
fa 408
so 612
la 794
ti 998
do 1110
la92
ti 296
do 408
re 612
mi 794
fa 906
so 1110
mi 92
fa 204
so 408
la 590
ti 794
do 906
re 1110
ti 92
do 204
re 408
mi 590
fa 702
so 906
la 1088
fa 0
so 204
la 386
ti 590
do 702
re 906
mi 1088
fa 1200
do 0
re 204
mi 386
fa 498
so 702
la 884
ti 1088
do 1200
Tertsmodulaties
Bij een verschuiving van de reine majeurladder over een grote terts (5/4) verdwijnen er niet twee, maar vier tonen uit de ladder en komen er dus ook vier nieuwe bij. Na een drietal groteterts-modulaties ligt het resultaat - na octaafverschuiving - vrij dicht onder de uitgangsladder (afwijking 125/128, ofwel 41 cents).
Een modulatie over een kleine terts (6/5) vervangt ook steeds vier van de zeven laddertonen. Nu verschijnt er pas na negentien verschuivingen een goede benadering van de uitgangsladder; dat zal in de muziekpraktijk geen rol spelen, ook al is de afwijking dan nog geen 3 cents ( (6/5)19 / 25 ≈ −2,8 cent).
Tussen opvolgende laddertonen liggen meer dan twee reine modulatie-tonen
De tabel toont de afstanden tot grondtoon do van de tonen van de reine majeurladder, aangevuld met de tonen die ontstaan door modulatie van die ladder over een of twee (grote) tertsen of kwinten, omhoog en omlaag. Gerangschikt naar toonhoogte binnen één octaaf; de grijstint wisselt bij 50, 150, 250, ... cents.
Reine tonen na een of twee terts- of kwintmodulaties van de reine majeurladder
een modulatie
twee modulaties
afstand tot do
verhouding
cents
do
1/1
0
la + terts
25/24
≈ 71
re + terts + kwint
135/128
≈ 92
fa − terts
16/15
≈ 112
la − kwint
10/9
≈ 182
re
9/8
≈ 204
ti + terts
75/64
≈ 275
fa − kwint − kwint
32/27
≈ 294
so − terts
6/5
≈ 316
mi
5/4
≈ 386
re + kwint + kwint
81/64
≈ 408
do − terts − terts
32/25
≈ 427
la + terts + terts
125/96
≈ 457
fa
4/3
≈ 498
re − terts + kwint
27/20
≈ 520
la + terts − kwint
25/18
≈ 569
re + terts ti + kwint
45/32
≈ 590
fa − terts − kwint
64/45
≈ 610
re − terts − terts
36/25
≈ 631
ti + terts + terts
375/256
≈ 661
la − kwint − kwint
40/27
≈ 680
so
3/2
≈ 702
mi + terts
25/16
≈ 773
do − terts
8/5
≈ 814
la
5/3
≈ 884
re + kwint
27/16
≈ 906
fa − terts − terts
128/75
≈ 925
re + terts + terts
225/128
≈ 977
fa − kwint
16/9
≈ 996
re − terts
9/5
≈ 1018
ti
15/8
≈ 1088
so − terts − terts
48/25
≈ 1129
mi + terts + terts
125/64
≈ 1159
do
2/1
1200
Weer andere reine toonhoogten komen voor bij modulaties over een kleine terts (tweemaal een kwint minus een terts). En nog weer andere bij de verschillende modulatie-mogelijkheden van een reine mineur-toonladder. Allemaal tonen die, in tegenstelling tot de tonen van de evenredige twaalfverdeling van het octaaf, rein genoemd worden. Een muziekschrift kan die enorme verscheidenheid aan theoretisch reine toonhoogtes bij lange na niet weergeven. Dat hoeft ook niet, want de violist en de zanger zijn voor al die finesses toch op hun gehoor en gevoel aangewezen.
