Goethe begon zijn internationale autosportcarrière in het karting in 2019, toen hij uitkwam in de OK-categorie van zowel het Europese als het wereldkampioenschap karten. In 2020 kwam hij uit in de WSK Super Master Series en de WSK Champions Cup. Aan het eind van 2019 debuteerde hij in het formuleracing met zijn deelname aan het laatste weekend van het Spaans Formule 4-kampioenschap, gehouden op het Circuit de Barcelona-Catalunya, bij het team Drivex School.
In 2022 begon Goethe het seizoen in de 24 uur van Dubai, waarin hij voor Dragon Racing de GT4-klasse won in een Mercedes-AMG GT4; hij deelde de auto met onder meer zijn vader Roald.
Euroformula Open
In 2022 stapte Goethe over naar de Euroformula Open, waarin hij uitkwam voor het Team Motopark. Hij behaalde elf overwinningen en zeven andere podiumplaatsen, waardoor hij met 473 punten tot kampioen werd gekroond. Tevens debuteerde hij dat jaar in het FIA Formule 3-kampioenschap tijdens de races op de Hungaroring en het Circuit de Spa-Francorchamps bij Campos Racing als vervanger van de geblesseerde Hunter Yeany. Hij startte zijn eerste race vanaf pole position en eindigde als achtste, terwijl hij in de tweede race op plaats 28 eindigde. Op Spa behaalde hij een vierde plaats tijdens de tweede race.
Formule 3
In 2023 reed Goethe zijn eerste volledige seizoen in de FIA Formule 3 bij het team van Trident. In het eerste weekend op het Bahrain International Circuit stond hij voor het eerst op het podium. In de daaropvolgende negen races behaalde hij geen enkel punt, totdat hij in de hoofdrace op Silverstone zijn eerste zege in het kampioenschap behaalde. In de rest van het seizoen eindigde hij nog drie keer in de top vijf en behaalde hij de pole position op het Autodromo Nazionale Monza, een race die hij vanwege een technisch probleem niet kon starten. Met 75 punten werd hij achtste in het eindklassement. Aan het eind van het jaar werd hij opgenomen in het Red Bull Junior Team, het opleidingsprogramma van het Formule 1-team Red Bull Racing.
In 2024 bleef Goethe actief in de FIA Formule 3, maar stapte hij over naar het team Campos Racing. In Imola kende hij een sterk weekend met een zege in de sprintrace en een tweede plaats in de hoofdrace. In Barcelona stond hij nog een keer op het podium met een derde plaats in de sprintrace. Hij miste de laatste ronde op Monza en werd met 94 punten zevende in het kampioenschap.