Asensio is de zoon van een Spaanse vader en een Nederlandse moeder.[4] Zijn moeder overleed toen hij 15 was.[5] Hij stroomde in 2013 door vanuit de jeugd van RCD Mallorca. Hiervoor debuteerde hij op 27 oktober 2013 in het eerste elftal, in een wedstrijd in de Segunda División tegen Recreativo Huelva.[6] Coach José Luis Oltra hevelde Asensio na enkele wedstrijden definitief over naar de selectie van de hoofdmacht. Asensio begon op 2 februari 2014 voor het eerst in de basiself, tegen Sporting Gijón.[7] Hij maakte op 16 maart 2014 zijn eerste doelpunt in het betaald voetbal, in een competitiewedstrijd tegen CD Tenerife.[7]
Asensio tekende in december 2014 een contract tot 2021 bij Real Madrid. Dat liet hem tot het eind van het seizoen bij RCD Mallorca en verhuurde hem gedurende 2015/16 aan RCD Espanyol.[8] Daarvoor speelde hij voor het eerst in de Primera División. Asensio maakte op 21 augustus 2016 zijn officiële debuut in het eerste elftal van Real Madrid. Die dag speelde hij als linksbuiten tijdens een met 0–3 gewonnen competitiewedstrijd uit bij Real Sociedad. Hierbij maakte hij in de 40e minuut de 0–2. Asensio speelde in zeven seizoenen 191 wedstrijden voor Real Madrid in de competitie en 285 in totaal. Hij won zeventien prijzen met de Madrilenen, waaronder drie keer het landskampioenschap en drie keer de Champions League. Een onbetwiste basisspeler was hij geen seizoen.[9]
Asensio verruilde Real Madrid in juli 2023 transfervrij voor Paris Saint-Germain.[10]
