Menger was een zoon van winkelier Johan Philip Menger en Louise Charlotte Köhler. Hij werd opgeleid bij David van der Kellen jr., 1e stempelsnijder bij 's Rijks Munt in Utrecht, die was getrouwd met een zus van Menger. Hij maakte in die tijd zijn eerste penningen, onder andere ter herinnering aan P.C. Hooft (1835) en prins Willem George Frederik van Oranje-Nassau (1837). Op 20-jarige leeftijd werd hij in staat gesteld om in Amsterdam te gaan studeren aan de Koninklijke Akademie van Beeldende Kunsten, onder prof. Louis Royer.[2] In 1840 ontving hij voor zijn beeldhouwwerk de grote zilveren medaille van de academie. Na zijn terugkeer in Utrecht werkte Menger decennia lang bij 's Rijks Munt. In 1845 werd hij hulpgraveur en in 1853 eerste stempelsnijder.[3] Hij stond bekend als een bekwaam stempelsnijder.[4] Vanwege gezondheidsproblemen moest hij stoppen met werken, in 1892 kreeg hij eervol ontslag.
Menger nam deel aan diverse tentoonstellingen, waaronder de tentoonstellingen van Levende Meesters in Amsterdam (1836, 1840), waar hij een pleisterbeeld en een medaille met beeltenis van Calvijn toonde.[1] In 1844 werd hij met E.F. Georges, J.W. Kaiser en een aantal anderen benoemd tot lid van de Koninklijke Academie.[5] Menger was ook lid van het Utrechts Genootschap Kunstliefde.
Menger trouwde in 1843 met de Amsterdamse Euphrosina Johanna Parré (1818-1861), zus van landschapsschilder Matthias Parré jr. Hun oudste zoon Johan Philip Matthias Menger volgde zijn vader op als 1e stempelsnijder. Johan Philip Menger verhuisde na zijn pensioen met zijn dochter naar het Brabantse Asten. Hij overleed er drie jaar later, op 76-jarige leeftijd.
1870 penning herstel van het Nederlands gezag over de kust van Guinea
1871 prijspenning Nationale Wedstrijd voor Werklieden
1872 herdenkingspenning Groningen constant t.g.v. tweede eeuwfeest Gronings Ontzet, voorzijde met Groningse stedenmaagd gesneden door J.P. Menger, keerzijde met Rabenhaupt-monument gesneden door zoon J.P.M. Menger.[2]