Bij zijn wereldbekerdebuut, in januari 2005 in Kitzbühel, wist Byggmark niet te finishen. In november 2006 in Levi scoorde de Zweed dankzij een zesde plaats zijn eerste wereldbekerpunten. Op 27 januari 2007 boekte Byggmark in Kitzbühel zijn eerste wereldbekerzege, een dag later wist hij daar in Kitzbühel direct nog een zege aan toe te voegen. Op de wereldkampioenschappen alpineskiën 2007 in Åre wist de Zweed individueel geen resultaat neer te zetten. Samen met Patrik Järbyn, Markus Larsson, Hans Olsson, Anna Ottosson en Anja Pärson veroverde hij de zilveren medaille in de landenwedstrijd. In Val d'Isère nam Byggmark deel aan de wereldkampioenschappen alpineskiën 2009, op dit toernooi wist hij geen resultaat neer te zetten. Tijdens de Olympische Winterspelen van 2010 in Vancouver eindigde de Zweed als tweeëntwintigste op de slalom.
.svg){kind=small}
