Grootste en kleinste element

In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt een element van een deelverzameling $S$ van een geordende verzameling (preorde) een grootste element van $S$ genoemd, als alle elementen van $S$ kleiner zijn dan of equivalent aan dat element. Twee elementen zijn equivalent als ze in de orde dezelfde plaats innemen. Het ene komt niet vóór het andere en het andere niet vóór het ene. Een element van $S$ heet een kleinste element van $S$ als het kleiner is dan of equivalent aan alle elementen van $S$ . Grootste of kleinste elementen bestaan niet in alle gevallen, en als ze bestaan hoeven ze niet eenduidig te zijn. Als in een partiële orde een grootste of kleinste element bestaat, is het uniek en dus het grootste of kleinste element van de deelverzameling.

Definitie

Zij $(X,\lesssim )$ een verzameling met preorde $\lesssim$ , en $S$ een deelverzameling van $X$ .

Een element $m\in S$ heet een grootste element van $S$ als voor alle $s\in S$ geldt dat $s\lesssim m$ .

Een element $k\in S$ heet een kleinste element van $S$ als voor alle $s\in S$ geldt dat $k\lesssim s$ .

Eigenschappen

Grootste elementen van $S$ zijn onderling equivalent, kleinste ook.

Een grootste element is een maximaal element, een kleinste element is een minimaal element.

Voorbeelden

Op de complexe getallen is de relatie $z\lesssim z'$ als $|z|\leq |z'|$ een (totale) preorde. In de deelverzameling $S=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}$ zijn alle getallen op de eenheidscirkel grootste elementen van $S$ . Er zijn verder geen maximale elementen.

In een partieel geordende verzameling $(M,\leq )$ met $M=\{a,b,c\}$ en $a\leq b$ en $a\leq c$ zijn $b$ en $c$ wel maximale elementen (van heel $M$ ), want er bestaan geen grotere elementen, maar het zijn geen grootste elementen, want ze zijn niet groter dan alle elementen van $M$ (in het bijzonder geldt niet $b\leq c$ of $c\leq b$ ). Aan de andere kant is $a$ in dit voorbeeld zowel een minimaal als een kleinste element.

Op de verzameling $M=\{a,b,c\}$ van drie elementen is een preorde gedefinieerd door: $a\lesssim b$ en $b\lesssim a$ , dus $a$ en $b$ zijn equivalente elementen ( $a\sim b$ ). Beide zijn met $c$ onvergelijkbaar. Dan zijn alle elementen zowel maximaal element als minimaal element, maar zijn er geen grootste of kleinste elementen.

Begrensdheid

Een begrensde partieel geordende verzameling is een partieel geordende verzameling die zowel een grootste als een kleinste element heeft.

Minimum en maximum

De definitie van minimum en maximum heeft betrekking op verzamelingen met een totale orde. De begrippen maximum en minimum komen bij een totale orde overeen met respectievelijk grootste en kleinste element. Van elk is er hoogstens één. Elke niet-lege eindige totaal geordende verzameling heeft een grootste en kleinste element.

Read other articles:

Kapal perawat kapal selam

USS Frank Cable, satu dari dua Kapal perawat kapal selam milik Angkatan Laut Amerika Serikat (di depan-nya merupakan kapal selam serbu cepat USS Salt Lake City (SSN-716). Kapal perawat kapal selam[1] adalah sebuah jenis kapal yang bertugas untuk menyuplai dan mendukung operasi kapal selam. Pengembangan Kapal selam berukuran lebih kecil dibandingkan dengan sebagian besar kapal-kapal laut, sehingga umumnya tidak memiliki kemampuan untuk membawa makanan, bahan bakar, torpe...

Taizidang

Taizidang Hanzi tradisional: 太子黨 Hanzi sederhana: 太子党 Makna harfiah: Partai Putra Mahkota Alih aksara Mandarin - Hanyu Pinyin: Tàizǐdǎng - Wade-Giles: T'ai-tsu-tang Taizidang (Hanzi sederhana: 太子党; Hanzi tradisional: 太子黨), juga dikenal sebagai Putra Mahkota Partai, adalah para keturunan pejabat komunis senior penting dan berpengaruh di Republik Rakyat Tiongkok. Kelompok tersebut bukanlah partai politik, namun kategorisasi informal dan sering kali menyudutka...

Broad measures of economic progress

The examples and perspective in this article deal primarily with Europe and do not represent a worldwide view of the subject. You may improve this article, discuss the issue on the talk page, or create a new article, as appropriate. (April 2017) (Learn how and when to remove this template message) Although for many decades, it was customary to focus on GDP and other measures of national income, there has been growing interest in developing broad measures of economic well-being. National and i...

Malick Mané

Senegalese footballer Malick Mané Mané playing for Sandefjord in 2008Personal informationFull name Malick Neme ManéDate of birth (1988-10-14) 14 October 1988 (age 35)Place of birth Ziguinchor, SenegalHeight 1.73 m (5 ft 8 in)Position(s) Forward, wingerYouth career0000–2005 Casa SportsSenior career*Years Team Apps (Gls)2005–2007 Casa Sports 2008–2011 Sandefjord 82 (19)2011 → Aktobe (loan) 29 (12)2012–2014 Sogndal 59 (12)2014–2015 IFK Göteborg 11 (1)2014 → ...

Ministry of Interior Affairs (Afghanistan)

Afghan government ministry responsible for interior affairs matters This article uses bare URLs, which are uninformative and vulnerable to link rot. Please consider converting them to full citations to ensure the article remains verifiable and maintains a consistent citation style. Several templates and tools are available to assist in formatting, such as reFill (documentation) and Citation bot (documentation). (September 2022) (Learn how and when to remove this message) Ministry of Interior ...

Superior Beings

2001 novel by Nick Walters Superior Beings AuthorNick WaltersSeriesDoctor Who book:Past Doctor AdventuresRelease number43SubjectFeaturing:Fifth DoctorPeriSet inPeriod betweenPlanet of Fire and The Caves of AndrozaniPublisherBBC BooksPublication dateJune 2001Pages280ISBN0-563-53830-9Preceded byAsylum Followed byByzantium! Superior Beings is a BBC Books original novel written by Nick Walters and based on the long-running British science fiction television series Doctor...

2020年夏季奥林匹克运动会马来西亚代表团

2020年夏季奥林匹克运动会马来西亚代表團马来西亚国旗IOC編碼MASNOC马来西亚奥林匹克理事会網站olympic.org.my（英文）2020年夏季奥林匹克运动会（東京）2021年7月23日至8月8日（受2019冠状病毒病疫情影响推迟，但仍保留原定名称）運動員30參賽項目10个大项旗手开幕式：李梓嘉和吳柳螢（羽毛球）[1][2]閉幕式：潘德莉拉（跳水）[3]獎牌榜排名第74 金牌銀牌銅�...

IC 4886

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أكتوبر 2019) IC 4886 الكوكبة المقراب[1] رمز الفهرس IC 4886 (كتالوج مفهرس)ESO 232-18 (European Southern Observatory Catalog)ESO-LV 232-0180 (European Southern Observatory Catalog و The surface photometry catalogue of the ESO-Uppsala galaxies)PGC 635...

كبكج وز. 1960

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2020) كبكج وز. 1960 النوع بندقية اقتحام بلد الأصل بولندا فترة الاستخدام 1960- الان الكمية المصنوعة 5000 الطلقة...

Dennis Peron

American marijuana activist (1945-2018) Dennis PeronBorn(1945-04-08)April 8, 1945The Bronx, New York City, New York, U.S.DiedJanuary 27, 2018(2018-01-27) (aged 72)San Francisco, California, U.S.NationalityAmericanYears active1970s–2018Known forActivism for legalizing cannabis Dennis Robert Peron (April 8, 1945[1] – January 27, 2018) was an American activist and businessman who became a leader in the movement for the legalization of cannabis throughout the 1990s...

National Freight Corporation

National Freight CorporationFounded1948Defunct2000FateMerged with Ocean Group plcSuccessorExelHeadquartersLondon, EnglandKey peopleChristopher Bland (Chairman)Gerry Murphy (CEO) The National Freight Corporation was a major British transport business between 1948 and 2000. It was listed on the London Stock Exchange and at one time, as NFC plc, was a constituent of the FTSE 100 Index. History BRS liveried trucks The company was established in 1948 as British Road Services (BRS). It was the roa...

N.SSign

n.SSignInformasi latar belakangAsalSeoul, Korea SelatanGenreK-popTahun aktif2023 (2023)–sekarangLabeln.CH EntertaintmentAnggota Kazuta Hyun Eddie Doha Junhyeok Sungyun Robin Hanjun Laurence Huiwon n.SSign adalah sebuah grup vokal laki-laki Korea Selatan yang berada di bawah naungan n.CH Entertainment. Grup tersebut debut pada tahun 2023 dan dibentuk melalui acara survival Stars Awakening. Pada awalnya, n.SSign dibentuk sebagai grup proyek dan kemudian diputuskan menjadi ...

Who Rules America?

1967 book by G. William Domhoff Who Rules America? Cover of first editionAuthorG. William Domhoff, Ph.D.PublisherPrentice-HallPublication date1967Publication placeUnited StatesPages288 ppOCLC256506Followed byWho Rules America Now? (1983) Who Rules America? Power and Politics in the Year 2000 (1998) Who Rules America? Power and Politics (2002) Who Rules America? Power, Politics, & Social Change (2006) Who Rules America? Challenges to Corporate and Class Dominance (2010) Who Rules Amer...

FN FNC

FN FNC Fabrique Nationale Carabine dengan bayonet Jenis Senapan serbu Negara asal Belgia Sejarah pemakaian Digunakan oleh Belgia, Venezuela,Nigeria, Indonesia Sejarah produksi Tahun 1979 Produsen Fabrique Nationale de Herstal Varian Ak 5 (Swedia)SS-1 (Indonesia) Spesifikasi Berat 3,80 kg Panjang 997 mm766 mm (popor dilipat) Panjang laras 450 mm Peluru 5.56 x 45 mm NATO Mekanisme Operasi gas, bolt berputar Rata² tembakan 700 butir/detik Jarak efektif 450 m Amunisi Ma...

Emi Nakajima

Emi Nakajima Informasi pribadiNama lengkap Emi NakajimaTanggal lahir 27 September 1990 (umur 33)Tempat lahir Prefektur Shiga, JepangPosisi bermain GelandangKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2009– INAC Kobe Leonessa 152 (25)Tim nasional2011– Jepang 46 (9) * Penampilan dan gol di klub senior hanya dihitung dari liga domestik Emi Nakajima (中島依美, lahir 27 September 1990) adalah seorang pemain sepak bola Jepang. Statistik [1] Jepang Tahun Tampil Gol 2011 2 0 2012 0 0 2...

Crossing (2024 film)

2024 filmCrossingFestival posterDirected byLevan AkinWritten byLevan AkinProduced byMathilde DedyeStarring Mzia Arabuli Lucas Kankava Deniz Dumanlı CinematographyLisabi FridellEdited by Levan Akin Emma Lagrelius Productioncompanies French Quarter Film Adomeit Film Easy Riders Film Bir Film 1991 Productions Swedish RMV Film Sveriges Television Swedish Film Institute Eurimages Nordisk Film & TV Fond Distributed byTriArt FilmRelease dates 15 February 2024 (2024-02-15) (Be...

Leonardo Della Torre

Artikel ini perlu diwikifikasi agar memenuhi standar kualitas Wikipedia. Anda dapat memberikan bantuan berupa penambahan pranala dalam, atau dengan merapikan tata letak dari artikel ini. Untuk keterangan lebih lanjut, klik [tampil] di bagian kanan. Mengganti markah HTML dengan markah wiki bila dimungkinkan. Tambahkan pranala wiki. Bila dirasa perlu, buatlah pautan ke artikel wiki lainnya dengan cara menambahkan [[ dan ]] pada kata yang bersangkutan (lihat WP:LINK untuk keterangan lebih lanjut...

Масс-спектрометрия

Масс-спектр толуола Масс-спектрометрия (масс-спектроскопия, масс-спектрография, масс-спектральный анализ, масс-спектрометрический анализ, аббр. МС) — метод исследования и идентификации вещества, позволяющий определять концентрацию различных компонентов в нём (изото...

إنديانابوليس 500 سنة 1990

سباق إنديانا بوليس -500 ميل 1990 إنديانابوليس موتور سبيدوايإنديانابوليس 500 هيئة فرض العقوبات نادي السيارات الأمريكي السلسلة موسم إندي كار 1990 [لغات أخرى]‏ الموسم موسم إندي كار 1990 [لغات أخرى]‏ التاريخ 27 مايو 1990 البلد الولايات المتحدة الفائز آري لينديك...

Coupe de France de football 1928-1929

Coupe de France 1928-1929 Généralités Sport Football Organisateur(s) Fédération française de football Éditions 12e Lieu(x) France Date Saison 1928-1929 Participants 380 clubs Épreuves 10 tours au total Site(s) Finale au Stade olympique Yves-du-Manoir Site web officiel http://fff.fr/cfra/ Palmarès Tenant du titre Red Star Olympique (4) Vainqueur SO montpelliérain (1) Finaliste FC Sète Demi-finalistes UR Dunkerque-MaloStade raphaëlois Navigation Coupe de France 1927-1928 Coupe de F...

/profillengkap.com/index.php/article/Bill Weber (Minnesota politician)

/profillengkap.com/index.php/article/1993 Durham mayoral election

Ludwig III dari Hessen-Darmstadt

Shōhei Takada

Kementerian Sosial Arab Saudi

George Bowman (Australian politician)

Seo Ji-soo