Spitsov maakte zijn wereldbekerdebuut op 9 december 2017 in Davos, een dag later scoorde hij dankzij een zevende plaats aldaar zijn eerste wereldbekerpunten. In januari 2018 stond de Rus in Val di Fiemme voor de eerste maal in zijn carrière op het podium van een wereldbekerwedstrijd. Tijdens de Olympische Winterspelen van 2018 in Pyeongchang veroverde Spitsov de bronzen medaille op de 15 kilometer vrije stijl, daarnaast eindigde hij als vierde op de 30 kilometer skiatlon en als twintigste op de 50 kilometer klassieke stijl. Samen met Aleksandr Bolsjoenov sleepte hij de zilveren medaille in de wacht op de teamsprint, op de 4×10 kilometer estafette legde hij samen met Andrej Larkov, Aleksandr Bolsjoenov en Aleksej Tsjervotkin beslag op de zilveren medaille.
Op 13 februari 2022 won hij in een team met Sergej Oestjoegov, Aleksej Tsjervotkin en Aleksandr Bolsjoenov, goud op de 4x10 km estafette tijdens de Olympische Winterspelen in Peking.
.jpg)
