Kurcas gimė inžinieriaus ir pedagogės šeimoje, mokėsi Vienos gimnazijoje. Po gimnazijos, 2004–2005 m. atliko karinę tarnybą, po to įstojo į Vienos universiteto Teisės fakultetą.
2013 m. paskirtas Austrijos užsienio reikalų ministru, jauniausiu Europos Sąjungos šalyse. 2017 m. pirmalaikiuose šalies parlamento rinkimuose Kurco vadovaujama Liaudies partija užėmė pirmąją vietą. 2017 m. gruodžio 18 d. jis davė priesaiką kaip naujasis federalinis kancleris – tuo momentu jauniausias vyriausybės vadovas pasaulyje.
2019 m. gegužės 27 d. Austrijos parlamentas nubalsavo atleisti kanclerį Kurcą iš užimamų pareigų dėl korupcinio „Ibizageito“ (Ibiza-Affäre) skandalo [1]. Kitą dieną, gegužės 28 d., Kurcas įteikė atsistatydinimo pareiškimą. Po šio skandalo Austrijos prezidentas Alexander Van der Bellen paskyrė Brigitte Bierlein eiti kanclerės pareigas iki parlamento rinkimų 2019 m. rugsėjo mėn.
Liaudies partijai laimėjus rinkimus ir sudarius koaliciją su Žaliųjų partija, 2020 m. sausio 7 d. Kurcas vėl prisaikdintas Austrijos kancleriu. Pirmą kartą šalies istorijoje jo vadovaujamame kabinete daugumą ministrų sudarė moterys.[2] Kilus korupcijos skandalui, 2021 m. spalio 9 d. S. Kurcas atsistatydino iš užimamų pareigų.[3] 2021 m. gruodžio 2 d. S. Kurcas pranešė pasitraukiantis iš politikos.[4]