Hilberto erdvė

Virpančios stygos būsena gali būti vaizduojama tašku Hilberto erdvėje. Stygos virpesių obertonai tuo atveju bus interpretuojami kaip to taško projekcijos į Hilberto erdvės koordinatines ašis

Hilberto erdvė, pavadinta Davido Hilberto garbei, apibendrina euklidinės erdvės sąvoką. Ji išplečia vektorių algebrą iš dviejų arba trijų matavimų euklidinėje erdvėje į daugelio matmenų ar net begalinmates erdves. Hilberto erdvė yra abstrakti vektorinė erdvė, kurioje yra apibrėžta skaliarinė sandauga, o tai leidžia joje įvesti vektoriaus ilgio ir kampo tarp jų sąvokas.

Hilberto erdvė dažnai naudojama matematikos, fizikos moksluose kaip begalinmatė funkcijų erdvė. Būtent nuo to šios abstrakčios erdvės tyrimus dvidešimto amžiaus pirmame dešimtmetyje pradėjo David Hilbert, Erhard Schmidt ir Frigyes Riesz. Hilberto erdvės naudojamos diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis, kvantinės mechanikos, Furjė analizės ir dinaminių sistemų tyrimuose. John von Neumann pirmasis įvedė apibendrinantį terminą "Hilberto erdvė" daugybei skirtingų šios erdvės teorinių taikymų. Neskaitant euklidinės erdvės, Hilberto erdvės pavyzdžiais gali būti kvadratinių integruojamų funkcijų erdvė, sekų erdvė, Sobolevo erdvė, Hardy holomorfinių funkcijų erdvė.

Geometrinė interpretacija yra svarbi naudojant Hilberto erdves. Pitagoro teorema, lygiagretainio taisyklė, projekcijos sąvokos yra ir Hilberto erdvėje. Kiekvienas Hilberto erdvės taškas, gali turėti ortogonalias, kaip ir Dekarto, koordinates. Tiesinis operatorius Hilberto erdvėje yra pakankamai akivaizdus objektas: kai kuriais atvejais tai tiesiog paprasta transformacija kuri deformuoja erdvę išilgai ortogonalių ašių. Savo ruožtu, tai leidžia taikyti matematinės spektrinės teorijos metodus.

Apibrėžimai ir pavyzdžiai

Pavyzdžiai: Euklidinė erdvė

Vienas žinomiausių pavyzdžių yra euklidinė erdvė susidedanti iš trijų dimensijų vektorių, iš R3 (realiųjų skaičių trimatė erdvė), su skaliarine sandauga. x ir y skaliarinės sandaugos rezultate gaunamas realusis skaičius x·y. Jei x ir y Dekarto koordinatės, tada skaliarinė sandauga apibrėžiama:

Skaliarinės sandaugos savybės:

  1. Komutatyvi funkcija: x·y = y·x.
  2. Tiesinė funkcija: (ax1 + bx2y = ax1·y + bx2·y visiems a, b, ir vektoriams x1, x2, ir y.
  3. Teigiamai apibrėžta funkcija: visiems vektoriams x, x·x ≥ 0. Lygybė nuliui bus tada ir tik tada kai x = 0.

Jei vektoriaus ilgis (arba norma) yra žymimas ||x||, o kampas θ tarp x ir y, skaliarinė sandauga gali būti užrašoma

Pilnumas reiškia, kad taškui judant išilgai baigtinės laužtės (mėlynos spalvos), pilnas poslinkis irgi bus baigtinis (oranžinės spalvos).

Euklidinė erdvė yra pilna. Vektorių eilutė konverguoja tada kai:

Apibrėžimai

Hilberto erdvėje H yra apibrėžta realiųjų arba kompleksinių skaičių skaliarinė sandauga, dėl to ji yra metrinė erdvė. Bendru atveju H yra kompleksinių vektorių erdvė su ⟨x,y⟩ su kiekviena elementų pora x,yH, tenkinančių savybes:

  • y,x⟩ yra kompleksiškai jungtinis skaičius ⟨x,y⟩:
  • x,y⟩ yra tiesinė funkcija su pirmuoju argumentu. Visiems kompleksiniams a ir b,
  • Skaliarinė sandauga teigiamai apibrėžta:
,
kur lygybė galima tiktai kai x = 0.

Realioje erdvėje skaliarinė sandauga yra apibrėžta taip pat, tik H įgyja vertes realiųjų skaičių erdvėje.

Norma ⟨•,•⟩ yra realiosios vertės funkcija

ir atstumas tarp dviejų taškų x,y H yra apibrėžiamas taip:

Atstumo funkcija turi savybes:

  • x ir y atžvilgiu yra simetriška,
  • atstumas tarp x ir x yra nulis nes kitu atveju kai x ir y skirtingi turi būti teigiamas
  • trikampio nelygybė sako, jog ilgiausioji trikampio kraštinė nėra ilgesnė už likusių kraštinių ilgių sumą:

Ši savybė išplaukia iš dar fundamentalesnės Koši-Švarco nelygybės, kuri teigia, kad

,

o lygybė galioja tada ir tik tada kai x ir y yra tiesiškai priklausomi.

Kaip pilna normuota erdvė, Hilberto erdvė yra taip pat Banacho erdvė (tai yra vektorinė metrinė erdvė).

Antras pavyzdys: sekų erdvė

Sekų erdvė 2 susideda iš begalinės z = (z1,z2,...) kompleksinių skaičių sekos, tokios, kad eilutė

konverguoja. Tuomet skaliarinė sandauga 2 apibrėžiama

kuri taip pat konverguoja pagal Koši-Švarco nelygybę.


Šaltiniai

Read other articles:

Christopher A. SimsLahir21 Oktober 1942 (umur 81)Washington, D.C.KebangsaanAmerikaInstitusiPrinceton UniversityBidangMacroeconomicsEconometricsTime seriesAlma materHarvard University, (A.B, PhD)UC Berkeley[1]KontribusiUse of vector autoregressionPenghargaanNobel Ekonomi (2011)Informasi di IDEAS / RePEc Christopher Albert Chris Sims (lahir 21 Oktober 1942) adalah seorang ahli ekonometrika dan ekonomi makro. econometrician and macroeconomist. Saat ini ia menjadi pro...

 

 

Mazmur 105Naskah Gulungan Mazmur 11Q5 di antara Naskah Laut Mati memuat salinan sejumlah besar mazmur Alkitab yang diperkirakan dibuat pada abad ke-2 SM.KitabKitab MazmurKategoriKetuvimBagian Alkitab KristenPerjanjian LamaUrutan dalamKitab Kristen19← Mazmur 104 Mazmur 106 → Mazmur 105 (disingkat Maz 105 atau Mz 105; penomoran Septuaginta: Mazmur 104) adalah sebuah mazmur dalam bagian ke-4 Kitab Mazmur di Alkitab Ibrani dan Perjanjian Lama dalam Alkitab Kristen. Tidak dicatat nama ...

 

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. Ante Vokić Menteri Angkatan Bersenjata Negara Independen KroasiaMasa jabatan29 Januari 1944 – 8 Agustus 1944Perdana MenteriNikola Mandić PendahuluMiroslav NavratilPenggantiNikola SteinflMenteri Perhubungan Negara Independen KroasiaMasa ja...

العلاقات الباكستانية السريلانكية باكستان سريلانكا   باكستان   سريلانكا تعديل مصدري - تعديل   العلاقات الباكستانية السريلانكية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين باكستان وسريلانكا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للد�...

 

 

Kirstjen Nielsen Menteri Keamanan Dalam Negeri Amerika Serikat ke-6Masa jabatan6 Desember 2017 – 10 April 2019PresidenDonald TrumpWakilElaine DukeClaire Grady (pelaksana tugas) PendahuluJohn F. KellyPenggantiKevin McAleenan (pelaksana tugas)Wakil Kepala Staf Gedung PutihMasa jabatan6 September 2017 – 6 Desember 2017PresidenDonald TrumpKepala StafJohn F. Kelly PendahuluKatie WalshPenggantiJames W. CarrollKepala Staf Menteri Keamanan Dalam Negeri Amerika SerikatMasa jabata...

 

 

For the FM radio station in Duluth, Minnesota (1940–1950), see WEBC-FM. This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article possibly contains original research. Please improve it by verifying the claims made and adding inline citations. Statements consisting only of original research should be removed. (October 2015) (Learn how and when to remove this template message) This ar...

Underworld in Egyptian mythology This article is about the Egyptian underworld. For the evergreen tree, see Syzygium cumini. For the aviation weather service, see DUATS. Amenthes redirects here. For region on Mars, see Amenthes quadrangle. Judgment scene from the Book of the Dead from the Papyrus of Hunefer. In the three scenes from the Book of the Dead (version from ~1275 BCE) the deceased Hunefer is taken into the judgment hall by the jackal-headed Anubis. The next scene is the weighing of ...

 

 

Partito Social DemocraticoPartido Social Democrático PresidenteGilberto Kassab Stato Brasile SedeBrasilia Fondazione2011 IdeologiaCentrismoLiberalismo CollocazioneCentro Iscritti248 029 Sito webwww.psd.org.br/ Modifica dati su Wikidata · Manuale Il Partito Social Democratico (Partido Social Democrático, PSD) è un partito politico brasiliano di orientamento centrista[1], da non confondersi col Partito della Social Democrazia Brasiliana (PSDB). Indice 1...

 

 

Railway station in Perth, Western Australia MandurahView from footbridge in August 2021General informationLocationAllnutt Street, MandurahAustraliaCoordinates32°31′38″S 115°44′48″E / 32.527148°S 115.746621°E / -32.527148; 115.746621Owned byPublic Transport AuthorityOperated byTransperthLine(s)     Mandurah lineDistance70.1 kilometres from PerthPlatforms2 sideTracks2Bus routes14Bus stands10ConstructionStructure typeGroundAccessibleYe...

Nama Sihathor di kanon Turin (baris kedua dari bawah) Menwadjre Sihathor merupakan penguasa Dinasti ketiga belas Mesir selama akhir Kerajaan Pertengahan. Sihathor diduga tidak pernah mengalami pemerintahan independen, mungkin hanya bertakhta selama beberapa bulan sebagai rekan wali penguasa dengan saudaranya Neferhotep I. Menurut ahli Mesir kuno Kim Ryholt, Sihathor meninggal pada 1733 SM[1] sementara Detlef Franke memberi tanggal masa pemerintahannya pada 1694 SM.[2] Makamnya...

 

 

Commune in Bourgogne-Franche-Comté, FranceRonchampCommuneLocation of Ronchamp RonchampShow map of FranceRonchampShow map of Bourgogne-Franche-ComtéCoordinates: 47°42′03″N 6°38′02″E / 47.7008°N 6.6339°E / 47.7008; 6.6339CountryFranceRegionBourgogne-Franche-ComtéDepartmentHaute-SaôneArrondissementLureCantonLure-1IntercommunalityRahin et ChérimontGovernment • Mayor (2020–2026) Benoît Cornu[1]Area123.54 km2 (9.09 sq...

 

 

Method for estimating new data outside known data points For the journal of speculative fiction, see Extrapolation (journal). For the John McLaughlin album, see Extrapolation (album). For the Apple TV+ series, see Extrapolations (TV series). In mathematics, extrapolation is a type of estimation, beyond the original observation range, of the value of a variable on the basis of its relationship with another variable. It is similar to interpolation, which produces estimates between known observa...

Pour les articles homonymes, voir Villevieille (homonymie). Villevieille Rues dans le centre de Villevieille. Blason Administration Pays France Région Occitanie Département Gard Arrondissement Nîmes Intercommunalité Communauté de communes du Pays de Sommières Maire Mandat Cécile Marquier 2020-2026 Code postal 30250 Code commune 30352 Démographie Gentilé Villevieillois, Villevieilloise Populationmunicipale 1 841 hab. (2021 ) Densité 222 hab./km2 Géographie Coordonné...

 

 

Sino-Tibetan language spoken in Nepal Chepangच्योःबाङ्The word Chepang written in Devanagari scriptRegionNepalEthnicityChepangNative speakers59,000 (2021 census)[1]Language familySino-Tibetan ChepangicChepangWriting systemDevanagariLanguage codesISO 639-3cdmGlottologchep1245ELPChepangChepang is classified as Vulnerable by the UNESCO Atlas of the World's Languages in Danger Chepang is a language spoken by approximately 59,000 people in South-Central Nepal.[1&...

 

 

2020 studio album by Fleur East FearlessStudio album by Fleur EastReleased20 March 2020Length40:44LabelPlatinum East IngroovesFleur East chronology Love, Sax and Flashbacks(2015) Fearless(2020) Singles from Fearless Favourite ThingReleased: 4 January 2019 Figured OutReleased: 4 October 2019 SizeReleased: 18 November 2019 LuckyReleased: 31 January 2020 MineReleased: 20 March 2020 Fearless (stylised in all caps) is the second studio album by English singer, songwriter, and rapper Fleur East...

Star in the constellation Lepus R Leporis Location of R Leporis in the constellation Lepus. Observation dataEpoch J2000.0      Equinox J2000.0 (ICRS) Constellation Lepus Right ascension 04h 59m 36.3487s[1] Declination −14° 48′ 22.518″[1] Apparent magnitude (V) 5.5 to 11.7[2] Characteristics Spectral type C7,6e(N6e)[2] B−V color index +5.74[3] R−I color index +1....

 

 

هذه المقالة تحتاج للمزيد من الوصلات للمقالات الأخرى للمساعدة في ترابط مقالات الموسوعة. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة وصلات إلى المقالات المتعلقة بها الموجودة في النص الحالي. (مارس 2023) فرانك كوفاكس معلومات شخصية الميلاد 4 ديسمبر 1919(1919-12-04)أوكلاند الوفاة فبراير 1990 (70&...

 

 

Two approximate mega-regions within China Not to be confused with North China, South China, or Northern and Southern dynasties. This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article possibly contains original research. Please improve it by verifying the claims made and adding inline citations. Statements consisting only of original research should be removed. (May 2019) (Learn how ...

Canada–US railway line This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: White Pass and Yukon Route – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2013) (Learn how and when to remove this message) White Pass & Yukon RouteCommercial operationsOriginal gauge3 ft (914 mm)Preserved operationsR...

 

 

Wife of Edgar Allan Poe Virginia PoeVirginia Poe, as painted after her deathBornVirginia Eliza Clemm(1822-08-15)August 15, 1822Baltimore, Maryland, U.S.DiedJanuary 30, 1847(1847-01-30) (aged 24)Bronx County, New York, U.S.Cause of deathTuberculosisResting placeWestminster Hall and Burying Ground, Baltimore, Maryland, U.S.Spouse Edgar Allan Poe ​(m. 1836)​ Virginia Eliza Poe (née Clemm; August 15, 1822 – January 30, 1847) was the wife of American write...