보충 경계 이론에서, 톰 스펙트럼(영어: Thom spectrum)은 직교군의 분류 공간의 톰 공간들로 구성된 스펙트럼이다. 이 스펙트럼에 대응하는 호몰로지 이론은 보충 경계환이다.
정의
분류 공간
위의 연관 벡터 다발
의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.
리 군의 포함 관계
로부터 유도되는 분류 공간의 포함 관계
로부터, 벡터 다발의 당김 올다발
을 정의할 수 있다. 이 경우,
은 자명한 1차원 벡터 다발을 직합으로 더한 것이다. 톰 공간을 취했을 때, 이는 축소 현수를 이룬다.
즉, 이는 사상
을 정의한다. 이 사상들은 스펙트럼
을 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼(영어: Thom spectrum)이라고 한다.
복소수·사원수 톰 스펙트럼
위와 유사하게, 실수와 직교군 대신 복소수와 유니터리 군을 사용하여 스펙트럼 를 정의할 수 있다. 구체적으로, 포함 관계
에 의하여,
이므로,
이다. 그러나 복소평면은 (실수선과 달리) 2차원이므로, 이는 스펙트럼의 짝수차 성분만을 정의한다.
마찬가지로, 사원수와 콤팩트 심플렉틱 군 을 사용하여 스펙트럼 를 정의할 수 있다.
구체적으로, 포함 관계
에 의하여,
이므로,
이다. 사원수 공간은 4차원이므로, 이는 스펙트럼의 4의 배수차 성분만을 정의한다.
역사
르네 톰의 이름을 땄다.
외부 링크