기하학에서, 탈레스 정리(영어: Thales' theorem)는 삼각형의 밑변에 평행한 직선은 다른 두 변을 같은 비로 분할한다는 정리이다.

평면 위 3개의 서로 다른 평행선 ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle l'}$, ${\displaystyle l''}$이 주어졌다고 하자. 또 다른 두 직선이 ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle l'}$, ${\displaystyle l''}$과 하나는 각각 점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle A''}$에서 만나고, 다른 하나는 각각 점 ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle B'}$, ${\displaystyle B''}$에서 만난다고 하자. 탈레스 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {AA''}}{\overrightarrow {AA'}}}={\frac {\overrightarrow {BB''}}{\overrightarrow {BB'}}}}$

특히, 만약 ${\displaystyle A''}$이 ${\displaystyle A}$에 대하여 ${\displaystyle A'}$과 같은 쪽에 있다면, ${\displaystyle B''}$ 역시 ${\displaystyle B}$에 대하여 ${\displaystyle B'}$과 같은 쪽에 있으며, 반대로 만약 ${\displaystyle A''}$이 ${\displaystyle A}$에 대하여 ${\displaystyle A'}$과 다른 쪽에 있다면, ${\displaystyle B''}$ 역시 ${\displaystyle B}$에 대하여 ${\displaystyle B'}$과 다른 쪽에 있다.

우선 ${\displaystyle {\overrightarrow {AA''}}/{\overrightarrow {AA'}}=1/2}$인 경우를 보이자. ${\displaystyle A}$를 지나는 ${\displaystyle BB'}$의 평행선과 ${\displaystyle l''}$의 교점을 ${\displaystyle C''}$이라고 하고, ${\displaystyle A''}$을 지나는 ${\displaystyle BB'}$의 평행선과 ${\displaystyle l'}$의 교점을 ${\displaystyle C'}$이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \angle A''AC''=\angle A'A''C'}$, ${\displaystyle AA''=A''A'}$, ${\displaystyle \angle AA''C''=\angle A''A'C'}$이므로, 삼각형 ${\displaystyle AA''C''}$과 ${\displaystyle A''A'C'}$은 합동이며, 특히 ${\displaystyle {\overrightarrow {AC''}}={\overrightarrow {A''C'}}}$이다. 사각형 ${\displaystyle ABB''C''}$, ${\displaystyle A''B''B'C'}$은 모두 평행 사변형이므로,

${\displaystyle {\overrightarrow {BB''}}={\overrightarrow {AC''}}={\overrightarrow {A''C'}}={\overrightarrow {B''B'}}}$

이다. 즉, ${\displaystyle {\overrightarrow {BB''}}/{\overrightarrow {BB'}}=1/2}$가 성립한다.

이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 ${\displaystyle m}$과 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여 ${\displaystyle {\overrightarrow {BB''}}/{\overrightarrow {BB'}}=m/n}$이라고 하자. 선분 ${\displaystyle AA'}$을 ${\displaystyle n}$등분하고, 직선 ${\displaystyle AA'}$의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 ${\displaystyle n}$등분점을 지나는 ${\displaystyle l}$의 평행선과 직선 ${\displaystyle BB'}$의 교점 역시 선분 ${\displaystyle BB'}$을 ${\displaystyle n}$등분하며, 또한 직선 ${\displaystyle BB'}$의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 ${\displaystyle {\overrightarrow {AA''}}/{\overrightarrow {AA'}}=m/n}$이 성립한다.

이제 ${\displaystyle {\overrightarrow {AA''}}/{\overrightarrow {AA'}}=\lambda }$가 일반적인 실수인 경우를 보이자. ${\displaystyle {\overrightarrow {BB''}}/{\overrightarrow {BB'}}=\mu }$이라고 가정하자. 임의의 유리수 ${\displaystyle q}$에 대하여, 직선 ${\displaystyle AA'}$ 위에서 ${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}=q{\overrightarrow {AA'}}}$인 점 ${\displaystyle P}$를 취하고, ${\displaystyle P}$를 지나는 ${\displaystyle l}$의 평행선과 직선 ${\displaystyle BB'}$의 교점을 ${\displaystyle Q}$라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle {\overrightarrow {BQ}}=q{\overrightarrow {BB'}}}$이다. ${\displaystyle A''B''}$과 ${\displaystyle PQ}$는 평행하므로, 만약 ${\displaystyle \lambda <q}$라면 ${\displaystyle \mu <q}$, 만약 ${\displaystyle \lambda =q}$라면 ${\displaystyle \mu =q}$, 만약 ${\displaystyle \lambda >q}$라면 ${\displaystyle \mu >q}$이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합을 이룬다는 사실에 의하여, ${\displaystyle \mu =\lambda }$가 성립한다.

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 두 변 ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle AC}$의 직선과 점 ${\displaystyle B'}$, ${\displaystyle C'}$에서 만나는 직선 ${\displaystyle B'C'}$이 다른 한 변 ${\displaystyle BC}$에 평행한다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {AB}}{\overrightarrow {AB'}}}={\frac {\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AC'}}}={\frac {\overrightarrow {BC}}{\overrightarrow {B'C'}}}}$

이다.^{[1]:25, §I.3, Corollary 3.3}

평면 위의 중심 닮음 변환은 모든 직선을 이와 평행하는 직선으로 변환시킨다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 아핀 공간 ${\displaystyle A}$의 서로 다른 평행 아핀 초평면 ${\displaystyle H,H',H''\subseteq A}$가 주어졌고, 어떤 아핀 직선 ${\displaystyle L\subseteq A}$가 ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle H'}$, ${\displaystyle H''}$과 각각 점

${\displaystyle a=H\cap L}$

${\displaystyle a'=H'\cap L}$

${\displaystyle a''=H''\cap L}$

에서 만난다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {aa''}}{\overrightarrow {aa'}}}\in K}$

은 아핀 초평면 ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle H'}$, ${\displaystyle H''}$에만 의존하며, 아핀 직선 ${\displaystyle L}$의 선택과 무관하다.^{[2]:49, §2.5, Proposition 2.5.1}

고대 그리스의 수학자 탈레스의 이름을 땄다.