지겔 모듈러 다양체(영어: Siegel modular variety) 또는 지겔 모듈라이 공간(영어: Siegel moduli space)은 고정된 차원의 특정 유형의 아벨 다양체를 매개변수화하는 대수다양체이다. 보다 정확하게는 지겔 모듈러 다양체는 고정 차원의 주 극성화 아벨 다양체의 모듈라이 공간이다. 이 이름은 1943년에 이 다양체를 정의한 20세기 독일 정수론자 카를 루드비히 지겔의 이름을 따서 명명되었다.^[2][3]

지겔 모듈러 다양체는 시무라 다양체의 가장 기본적인 예이다.^[4] 지겔 모듈러 다양체는 타원 곡선의 모듈라이 공간을 더 높은 차원으로 일반화하고 고전적인 모듈러 형식을 더 높은 차원으로 일반화하는 지겔 모듈러 형식 이론에서 중심 역할을 한다.^[1] 그들은 또한 블랙홀 엔트로피와 등각장 이론에 적용된다.^[5]

${\displaystyle g}$ 차원 주 극화 아벨 다양체를 매개변수화하는 지겔 모듈러 다양체 ${\displaystyle A_{g}}$는 대칭 군 작용에 의해 ${\displaystyle g}$차 지겔 상반 공간의 몫으로 구성된 복소 해석 공간으로 구성될 수 있다. 복소 해석 공간은 세르의 GAGA에 따라 자연스럽게 연관된 대수 다양체를 갖다.^[1]

레벨 n 구조를 사용하여 ${\displaystyle g}$ 차원 주 극화 아벨 다양체를 매개변수화하는 지겔 모듈러 다양체 ${\displaystyle A_{g}(n)}$은 심플렉틱 군의 레벨 n 주 합동 부분 군의 작용에 의해 지겔 상반 공간의 몫으로 발생한다.^[1]

지겔 모듈형 다양체는 심플렉틱 벡터 공간과 연관된 시무라 데이텀에 의해 정의된 시무라 다양체로 구성될 수도 있다.^[4]

지겔 모듈러 다양체 ${\displaystyle A_{g}}$는 ${\displaystyle g(g+1)/2}$차원 다양체이다.^[1][6] 게다가 Yung-Sheng Tai, 에버하르트 프라이타그 및 데이비드 멈퍼드는 ${\displaystyle A_{g}}$가 ${\displaystyle A_{g}}$일 때 일반 유형임을 보여주었다.^[1][7][8][9]

지겔 모듈형 다양체는 사영 다양체를 얻기 위해 콤팩트화될 수 있다.^[1] 특히, ${\displaystyle A_{2}(2)}$의 콤팩트화는 유리 다양체인 세그레 삼차 삼중체와 쌍유리적으로 동일한다.^[1] 유사하게, ${\displaystyle A_{2}(3)}$의 콤팩트화는 역시 유리 다양체인 Burkhardt 사차 삼중체와 쌍유리적으로 동일하다.^[1] ${\displaystyle A_{1,3}(2)}$로 표시된 또 다른 지겔 모듈러 다양체는 고다이라 차원이 0인 모듈러 칼라비-야우 다양체와 쌍유리적으로 동형인 바르토-니에로 오차 삼중체와 쌍유리적으로 동형인 콤팩트화를 갖는다.^[1]

지겔 모듈러 형식은 지겔 모듈러 다양체에서 벡터 값 미분 형식으로 발생한다.^[1] 지겔 모듈러 다양체는 지겔 모듈러 형식 이론을 통해 등각장 이론에 응용되었다.^[10] 지겔 모듈러 형식은 끈 이론에서 초대칭 블랙홀의 D1D5P 계에서 블랙홀 엔트로피의 미시 상태를 자연스럽게 포착한다.^[5]

1968년에 알렉세이 파신은 파신의 트릭을 도입하여 샤파레비치 유한성 추측이 참이라면 모델 추측(현재 팔팅스의 정리로 알려짐)이 성립함을 보여주었다.^[11][12] 1983년과 1984년에 게르트 팔팅스는 샤파레비치 유한성 추측을 증명하여 모델 추측의 증명을 완성했다.^[13][14][12] 팔팅스 증명의 주요 아이디어는 지겔 모듈러 다양체를 통해 팔팅스 높이와 순진한 높이를 비교하는 것이다.^[15]

• 힐베르트 모듈러 곡면
• 힐베르트 스킴
• 야코비 다양체