추상대수학에서 자유곱(自由곱, 영어: free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. 대수 구조 다양체에서의 쌍대곱이다. 융합된 자유곱(融合된自由곱, 영어: amalgamated free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하되, 주어진 "공통 부분"을 이어 붙이는 가장 일반적인 대수 구조이다. 자유곱의 개념을 일반화하며, 대수 구조 다양체에서의 밂을 이룬다.

자유곱은 대수 구조 다양체에서의 쌍대곱이다. 구체적으로, 연산 ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$를 갖는 대수 구조 다양체 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ 속의 두 대수 구조 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {V}}}$의 자유곱 ${\displaystyle A*B}$은 다음과 같다. 우선, 집합 ${\displaystyle A\sqcup B}$로 생성되는 자유 대수 ${\displaystyle F(A\sqcup B)\in {\mathcal {V}}}$를 생각하자. 이제, ${\displaystyle A}$에서 성립하는 모든 대수적 관계

${\displaystyle p(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=p'(a'_{1},p'_{2},\dots ,p'_{n'})}$

와 ${\displaystyle B}$에서 성립하는 모든 대수적 관계

${\displaystyle q(b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=q'(b'_{1},b'_{2},\dots ,b'_{k'})}$

들의 집합을

${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq F(A\sqcup B)^{2}}$

라고 하고, ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$를 포함하는 최소의 합동 관계를

${\displaystyle {\sim }\subseteq F(A\sqcup B)^{2}}$

이라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle A*B=F(A\sqcup B)/{\sim }\in {\mathcal {V}}}$

이다.

융합된 자유곱은 대수 구조 다양체에서의 밂이다. 구체적으로, 연산 ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$를 갖는 대수 구조 다양체 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ 속의 두 준동형

${\displaystyle f\colon C\to A}$

${\displaystyle g\colon C\to B}$

의 융합된 자유곱 ${\displaystyle A*_{C}B}$는 다음과 같다. 자유곱 ${\displaystyle A*B}$ 위에서,

${\displaystyle [f(c)]_{\sim }\sim '[g(c)]_{\sim }\qquad \forall c\in C}$

를 만족하는 최소의 동치 관계를

${\displaystyle \sim '\subseteq (A*B)^{2}}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \sim '}$은 합동 관계이며,

${\displaystyle A*_{C}B=(A*B)/{\sim '}\in {\mathcal {V}}}$

이다.

군의 대수 구조 다양체에서, 2차 순환군

${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)=\langle S|S^{2}=1\rangle }$

및 3차 순환군

${\displaystyle \operatorname {Cyc} (3)=\langle U|U^{3}=1\rangle }$

을 생각하자. 그렇다면, 두 순환군의 자유곱은 다음과 같은 모듈러 군이다.

${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)*\operatorname {Cyc} (3)=\langle S,U|S^{2}=U^{3}=1\rangle }$

이 경우, 보통 ${\displaystyle S^{-1}U=T}$로 정의한다.

무한 정이면체군

${\displaystyle \operatorname {Dih} (\infty )=\langle r,s\mid s^{2}=(rs)^{2}=1\rangle }$

은 다음과 같이 자유곱으로 나타내어진다.

${\displaystyle \operatorname {Dih} (\infty )=\operatorname {Cyc} (2)*\operatorname {Cyc} (2)}$

환의 대수 구조 다양체에서, 환 ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$와 ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$의 자유곱은 비가환 다항식환

${\displaystyle \mathbb {Z} [x]*\mathbb {Z} [y]=\mathbb {Z} \langle x,y\rangle }$

이다. 이는 텐서 대수 ${\displaystyle T(\mathbb {Z} ^{2})}$와 동형이다.

가환환의 자유곱은 환으로서의 자유곱의 가환화와 같다.

가환환의 대수 구조 다양체에서, 가환환 ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$와 ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$의 자유곱은 다항식환

${\displaystyle \mathbb {Z} [x]*\mathbb {Z} [y]=\mathbb {Z} [x,y]}$

이다.

아벨 군 또는 환 ${\displaystyle R}$ 위의 (왼쪽) 가군의 경우, 유한 자유곱은 직접곱과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주이기 때문이다.

집합의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합 ${\displaystyle \sqcup }$이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가 ${\displaystyle s=s}$ 꼴로 자명하기 때문이다.

• 쌍대곱
• 보편 성질

• “Free product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Free product of groups”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Free product of groups”. 《nLab》 (영어).