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기하학에서 이등변 삼각형(二等邊三角形, 영어: isosceles triangle)은 두 변의 길이가 같은 삼각형이다. 이 경우 길이가 같은 두 변이 마주보는 두 내각의 크기는 같다. 또한, 길이가 같은 두 변의 교점을 지나는 내각의 이등분선은 남은 한 변의 수직 이등분선과 일치한다. 길이가 같은 두 변이 마주보는 꼭짓점에서 두 변에 내린 수선과 중선, 내각의 이등분선의 길이는 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형을 정삼각형이라고 한다. 과거 에우클레이데스의 정의에서는 이등변 삼각형을 정확히 두 변의 길이가 같은 삼각형으로 정의하여 정삼각형을 포함시키지 않았으나, 현대 기하학은 정삼각형을 이등변 삼각형의 특수한 경우로서 포함한다.

정의

삼각형의 두 변의 길이가 같다면, 이 삼각형을 이등변 삼각형이라고 한다. 이등변 삼각형의 길이가 같은 두 변을 등변(等邊, 영어: leg)이라고 하고, 남은 한 변을 밑변(-邊, 영어: base)이라고 한다. 두 등변 사이의 내각을 꼭지각(-角, 영어: vertex angle)이라고 부르며, 밑변과 등변 사이의 두 내각을 밑각(-角, 영어: base angle)이라고 부른다. 꼭지각이 예각·직각·둔각인 이등변 삼각형을 각각 예각 이등변 삼각형, 직각 이등변 삼각형, 둔각 이등변 삼각형이라고 한다. 세 변의 길이가 같은 삼각형을 정삼각형이라고 한다. 이는 예각 이등변 삼각형의 특수한 경우이다. 정삼각형에서는 임의의 변을 밑변으로 삼을 수 있다.

성질

밑변이 $BC$ 인 이등변 삼각형 $ABC$ 의 다음과 같은 직선들은 서로 일치한다.

꼭짓각 $\angle A$ 의 이등분선
밑변 $BC$ 의 수직 이등분선
꼭짓점 $A$ 를 지나는 중선
꼭짓점 $A$ 에서 밑변 $BC$ 에 내린 수선

정삼각형이 아닐 경우 이 직선은 오일러 직선이다.

증명:

삼각형 ABC와 각 A의 이등분선 AX — 이등변 삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변의 수직 이등분선이다. 반대로 한 내각의 이등분선이 이 내각이 대하는 변의 수직 이등분선과 일치하는 삼각형은 이등변 삼각형이다.

각 $\angle A$ 의 이등분선 $AX$ 가 $BC$ 와 $X$ 에서 만난다고 하자. 그렇다면

AB=AC

\angle BAX=\angle CAX={\frac {1}{2}}\angle BAC

AX=AX

이므로, 삼각형 $ABX$ 와 $ACX$ 는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, $BX=CX$ 이며, 또한

\angle AXB=\angle AXC={\frac {1}{2}}\angle BXC={\frac {\pi }{2}}

이다. 즉, $AX$ 는 변 $BC$ 의 수직 이등분선이며, 따라서 $AX$ 는 삼각형 $ABC$ 의 중선이자 변 $BC$ 의 수선이다.

삼각형 $ABC$ 의 밑변의 길이가 $BC=a$ 라고 하고 두 등변의 길이가 $b$ 라고 할 때, 이 직선의 삼각형 내부에 포함된 부분의 길이는

{\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}

이다.^[1]^{:71, §2D}

밑각

삼각형 $ABC$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:7, §1B; 10, Exercise 1B.1}

$AB=AC$
$\angle B=\angle C$

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 이 명제를 당나귀의 다리라고 부르기도 한다. 반대로 크기가 같은 두 각의 대변의 길이는 같다.

증명:

우선 $AB=AC$ 가 성립한다고 가정하자. 각 $\angle A$ 의 이등분선 $AX$ 가 변 $BC$ 와 $X$ 에서 만난다고 하자. 그렇다면

AB=AC

\angle BAX=\angle CAX={\frac {1}{2}}\angle BAC

AX=AX

이므로, 삼각형 $ABX$ 와 $ACX$ 는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, $\angle B=\angle C$ 가 성립한다.

이제 $\angle B=\angle C$ 가 성립한다고 가정하자. 각 $\angle A$ 의 이등분선 $AX$ 가 변 $BC$ 와 $X$ 에서 만난다고 하자. 그렇다면

\angle B=\angle C

\angle BAX=\angle CAX={\frac {1}{2}}\angle BAC

AX=AX

이므로, 삼각형 $ABX$ 와 $ACX$ 는 AAS 합동에 따라 합동이다. 특히, $AB=AC$ 가 성립한다.

증명:^[1]^{:10, §1B}

우선 $AB=AC$ 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

AB=AC

\angle A=\angle A

AC=AB

이므로, 삼각형 $ABC$ 와 $ACB$ 는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $\angle B=\angle C$ 가 성립한다.

이제 $\angle B=\angle C$ 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

\angle B=\angle C

BC=CB

\angle C=\angle B

이므로, 삼각형 $ABC$ 와 $ACB$ 는 ASA 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $AB=AC$ 가 성립한다.

높이

삼각형 $ABC$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:10, Exercise 1B.6, 1B.7; 20, §1E}

$AB=AC$
$B$ 를 지나는 $AC$ 의 수선 $BY$ 가 $AC$ 와 $Y$ 에서 만난다고 하고, 점 $C$ 를 지나는 $AB$ 의 수선 $CZ$ 가 $AB$ 와 $Z$ 에서 만난다고 할 때, $BY=CZ$ 이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이가 같다면 이 두 대변의 길이는 같다.

증명:

우선 $AB=AC$ 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

\angle AYB=\angle AZC={\frac {\pi }{2}}

\angle A=\angle A

AB=AC

이므로, 삼각형 $ABY$ 와 $ACZ$ 는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $BY=CZ$ 가 성립한다.

이제 $BY=CZ$ 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

\angle A=\angle A

\angle AYB=\angle AZC={\frac {\pi }{2}}

BY=CZ

이므로, 삼각형 $ABY$ 와 $ACZ$ 는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $AB=AC$ 가 성립한다.

중선

삼각형 $ABC$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:10, Exercise 1B.4; 52, §2B, Problem 2.8}

$AB=AC$
변 $AC$ 의 중점이 $Y$ 라고 하고, 변 $AB$ 의 중점이 $Z$ 라고 할 때, $BY=CZ$ 이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점을 지나는 중선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점을 지나는 중선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.

증명:

우선 $AB=AC$ 가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

AB=AC

\angle A=\angle A

AY=AZ

이므로, 삼각형 $ABY$ 와 $ACZ$ 는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $BY=CZ$ 가 성립한다.

이제 $BY=CZ$ 가 성립한다고 가정하자. $BY$ 와 $CZ$ 의 교점이 $G$ 라고 하자. 그렇다면 $G$ 는 삼각형 $ABC$ 의 무게 중심이므로, $BG=2GY$ 이고 $CG=2GZ$ 이다. 따라서

BG=CG

\angle BGZ=\angle CGY

GY=GZ

이므로, 삼각형 $BGZ$ 와 $CGY$ 는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $\angle GBZ=\angle GCY$ 이다. 따라서

\angle A=\angle A

\angle ABY=\angle ACZ

BY=CZ

이므로, 삼각형 $ABY$ 와 $ACZ$ 는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $AB=AC$ 가 성립한다.

각의 이등분선

슈타이너-레무스 정리에 따르면, 삼각형 $ABC$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:10, Exercise 1B.5; 70, §2D, Problem 2.21}

$AB=AC$
각 $\angle B$ 의 이등분선 $BY$ 가 $AC$ 와 $Y$ 에서 만난다고 하고, 각 $\angle C$ 의 이등분선 $CZ$ 가 $AB$ 와 $Z$ 에서 만난다고 할 때, $BY=CZ$ 이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 이등분선의 길이는 같다. 반대로 두 내각의 이등분선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.

증명:

각의 이등분선의 길이의 제곱은

BY^{2}=AB\cdot BC\left(1-{\frac {AC^{2}}{(AB+BC)^{2}}}\right)

CZ^{2}=AC\cdot BC\left(1-{\frac {AB^{2}}{(AC+BC)^{2}}}\right)

이다. 따라서 만약 $AB=AC$ 라면 $BY=CZ$ 이고, 만약 $AB>AC$ 라면 $BY>CZ$ 이고, 만약 $AB<AC$ 라면 $BY<CZ$ 이다.

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Isosceles triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

[Isaacs-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.

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