원환면으로부터 이를 표면으로 하는 입체는 도넛의 모양을 닮게 되는 원환체(圓環體, toroid) 형태이다.

이처럼 원을 축에 의해 회전시킨 원환면을 통해 원환체를 얻을 수 있다.

${\displaystyle V=2\pi ^{2}r^{2}R}$

${\displaystyle R-r=a}$

${\displaystyle R+r=b}$에서

${\displaystyle r={{1} \over {2}}(b-a)}$

${\displaystyle R={{1} \over {2}}(b+a)}$

${\displaystyle V=(\pi r^{2})(2\pi R)}$

${\displaystyle \;\;\;=2\pi ^{2}r^{2}R}$

${\displaystyle \;\;\;=2\pi ^{2}\left({{1} \over {2}}(b-a)\right)^{2}\left({{1} \over {2}}(b+a)\right)}$

${\displaystyle \;\;\;={{1} \over {4}}\pi ^{2}\left(b-a\right)^{2}\left(b+a\right)}$

도넛 모양의 원환체 부피는 야코비 행렬식 ${\displaystyle J}$와 함께 삼중적분으로 표현될수있다.

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{{d(x,y,z)} \over {d(m,n,a^{'})}}\end{bmatrix}}=a^{'}(R+a^{'}cos\;n)}$

${\displaystyle x=(R+a^{'}\;cos\;n)cos\;m}$

${\displaystyle y=(R+a^{'}\;cos\;n)sin\;m}$

${\displaystyle z=a^{'}\;sin\;n}$

${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}a^{'}(R+a^{'}cos\;n)da^{'}dn\;dm}$

${\displaystyle \;\;\;=2\pi ^{2}r^{2}R}$

원환체의 부피 ${\displaystyle V=2\pi ^{2}r^{2}R}$ ${\displaystyle V=(\pi r^{2})(2\pi R)}$에서 원환체의 내부 원 둘레 ${\displaystyle (2\pi R)=L}$이므로 ${\displaystyle V=(\pi r^{2})L}$ 원기둥의 부피이다. ${\displaystyle L}$은 원기둥의 높이

${\displaystyle 1=R=r}$ 뿔 원환체 ${\displaystyle R>r}$ 링 원환체 ${\displaystyle R<r}$ 스핀들 원환체 원환체의 3종류

임의의 x,y,z 입체 좌표상의 사각형을 z축으로 회전시킨 원환체

• 원환 다면체(toroidal polyhedron)
• 중적분
• 호프 올뭉치

• http://mathworld.wolfram.com/Toroid.html
• http://mathworld.wolfram.com/Torus.html
• http://mathworld.wolfram.com/RingTorus.html
• http://mathworld.wolfram.com/StandardTori.html
• http://mathworld.wolfram.com/Lemon.html Archived 2018년 3월 24일 - 웨이백 머신