실해석학에서, 스테인하우스 정리(영어: Steinhaus’ theorem)는 양의 르베그 측도를 갖는 실수 집합 속 두 점의 차가 0의 열린 근방을 포함한다는 정리이다.
(왼쪽 하르 측도 μ μ --> {\displaystyle \mu } 를 갖춘) 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군 G {\displaystyle G} 가 주어졌다고 하자. 스테인하우스 정리에 따르면, 임의의 양의 측도의 가측 집합
에 대하여,
는 항등원 1 G ∈ ∈ --> G {\displaystyle 1_{G}\in G} 의 근방이다.[1] 즉, 1 G ∈ ∈ --> U ⊂ ⊂ --> A A − − --> 1 {\displaystyle 1_{G}\in U\subset AA^{-1}} 인 열린집합 U ⊂ ⊂ --> G {\displaystyle U\subset G} 가 존재한다.
증명:
편의상 G = R {\displaystyle G=\mathbb {R} } 가 (르베그 측도 μ μ --> {\displaystyle \mu } 를 갖춘) 실수선이라고 하자. A {\displaystyle A} 가 양의 측도의 콤팩트 부분 집합을 가지므로, 편의상 A {\displaystyle A} 가 콤팩트 집합이라고 가정할 수 있다. 그렇다면
인 열린집합 U ⊂ ⊂ --> R {\displaystyle U\subset \mathbb {R} } 가 존재한다. 또한, A {\displaystyle A} 가 콤팩트 집합이므로,
인 0의 열린 근방 V ∋ ∋ --> 0 {\displaystyle V\ni 0} 이 존재한다. 이제,
를 보이는 것으로 충분하다. 즉,
을 보이면 충분하다. 임의의 v ∈ ∈ --> V {\displaystyle v\in V} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면
이므로
이다. 따라서 위 조건이 성립한다.
후고 스테인하우스가 (르베그 측도를 갖춘) 실수선의 경우를 증명하였다. 한스 아돌프 라데마허(독일어: Hans Adolph Rademacher)가 (르베그 측도를 갖춘) 유클리드 공간의 경우를 증명하였다.
