리 대수 이론에서, 불변 다항식(不變多項式, 영어: invariant polynomial)은 어떤 리 대수의 원소를 변수로 가지며, 그 딸림표현 작용에 대하여 불변인 다항식이다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 쌍대 공간 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ 위의 대칭 대수

${\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})}$

를 생각하자. ${\displaystyle \alpha \in \textstyle \operatorname {Sym} ^{n}{\mathfrak {g}}^{*}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 ${\displaystyle n}$차 불변 다항식이라고 한다.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}\alpha (x_{0},x_{1},\dotsc ,[x_{i},x_{i+1}],\dotsc ,x_{n})=0}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다.

유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) L∞-대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 베유 대수(영어: Weil algebra) ${\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}$는 다음과 같은 미분 등급 대수이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$의 동차 원소 기저를 ${\displaystyle t^{i}}$라고 할 때, ${\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}$의 생성원은 ${\displaystyle t^{i}}$ 및 ${\displaystyle \delta t^{i}}$이다 (${\displaystyle \deg \delta t^{i}=1+\deg t^{i}}$). 또한, 그 미분은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {d} t^{i}=\mathrm {d} _{\mathrm {CE} }t^{i}+\delta t^{i}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \delta t^{i}=-\delta \mathrm {d} _{\mathrm {CE} }t^{i}}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm {d} _{\operatorname {CE} }}$란 슈발레-에일렌베르크 대수 ${\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}$의 미분이다. 즉, 이는 ${\displaystyle \delta ^{2}=\{\mathrm {d} ,\delta \}=0}$을 따른다.

물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 전사 미분 등급 대수 준동형

${\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle t^{i}\mapsto t^{i}}$

${\displaystyle \delta t^{i}\mapsto 0}$

이 존재한다.

유한형 L_∞-대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 불변 다항식은 베유 대수 ${\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}$의 원소 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}$ 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.^{[1]:Definition 4.1.13}

${\displaystyle \alpha \in \bigwedge \delta {\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}\alpha =0}$

즉, 베유 대수의 닫힌 원소 가운데, ${\displaystyle \delta {\mathfrak {g}}^{*}}$만으로 생성되는 것이다.

이는 리 대수의 경우의 정의를 일반화한다. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 리 대수인 경우, 불변 다항식은

${\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\subseteq \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \bigwedge ({\mathfrak {g}}^{*})}$

의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 동치이다.

리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$에 대하여,

${\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}$

는 리 군 ${\displaystyle G}$의 분류 공간

${\displaystyle \mathrm {B} G\leftarrow \mathrm {E} G\leftarrow G}$

의 (표수 0 특이 코호몰로지의) 모형이다. 즉, 그 (공사슬 복합체로서의) 코호몰로지는 이 위상 공간들의 (꼬임을 제외한) 특이 코호몰로지와 같다.

다시 말해,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {W} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(\mathrm {E} G)={\begin{cases}0&\bullet \neq 0\\K&\bullet =0\end{cases}}}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(G;K)=\operatorname {H} _{\text{LieAlg}}^{\bullet }({\mathfrak {g}};K)}$

${\displaystyle \operatorname {inv} ^{\bullet }({\mathfrak {g}})=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(\mathrm {B} G;K)}$

이다. (${\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})}$의 원소들은 정의에 따라 모두 닫힌 원소이므로, 코호몰로지를 취할 필요가 없다.) 여기서 ${\displaystyle \operatorname {H} _{\text{LieAlg}}^{\bullet }(-)}$는 리 대수 코호몰로지이다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식

${\displaystyle B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}$

은 2차 불변 다항식이다. 즉,

${\displaystyle B(x,[y,z])-B([x,y],z)=0\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}}$

이다.

계수 ${\displaystyle n}$의 단순 리 대수는 ${\displaystyle n}$개의 불변 다항식을 가진다. 그 차수는 다음과 같다.^{[2]:59, §3.7}

단순 리 대수	불변 다항식의 차수
${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{n}}$	2, 3, …, n+1
${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {c}}_{n}}$	2, 4, 6, …, 2n
${\displaystyle {\mathfrak {d}}_{n}}$	2, 4, 6, …, 2n−2, n
${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$	2, 5, 6, 8, 9, 12
${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$	2, 6, 8, 12
${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$	2, 6

위 표에서, 첫 2차 불변 다항식은 항상 킬링 형식이다. “차수”란 다항식의 차수를 뜻한다. 이를 L∞-대수로 해석할 경우, 각 변수의 등급이 2이므로, L∞-대수로서의 등급은 다항식 차수의 2배이다. 이 수들은 해당 리 대수의 콤팩트 형식의 유리수 계수 특이 코호몰로지 환을 결정한다. 즉, 만약 불변 다항식의 차수가 ${\displaystyle d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{r}}$라면, 리 군의 특이 코호몰로지 환은 차수

${\displaystyle \deg x_{i}=2d_{i}-1}$

의 ${\displaystyle r}$개의 생성원으로 생성되는 외대수이다. 특히,

${\displaystyle \dim G=\sum _{i=1}^{r}(2d_{i}-1)}$

이다.

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {su}}(n+1)}$의 경우, 그 불변 다항식은 다음과 같은 꼴이다. 리 대수의 원소를 ${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$ 무대각합 반 에르미트 행렬로 표현할 경우,

${\displaystyle p_{k}(M)=\operatorname {tr} _{(n+1)\times (n+1)}(M^{k})}$

이다. 만약 ${\displaystyle k=1}$인 경우는 (행렬이 무대각합이므로) ${\displaystyle p_{1}=0}$이 되며, ${\displaystyle k\geq n+2}$인 경우는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$의 경우, 그 리 대수의 원소는 반대칭 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬이며, 따라서 다음과 같은 불변 다항식을 적을 수 있다.

${\displaystyle p_{k}(M)=\operatorname {tr} (M^{k})}$

이 경우 ${\displaystyle k}$가 홀수일 때 ${\displaystyle p_{k}=0}$이다. 즉, 짝수 차수만이 남게 된다. ${\displaystyle n}$이 홀수일 때 불변 다항식들은 ${\displaystyle p_{2},\dotsc ,p_{n-1}}$로 구성된다. ${\displaystyle n=2m}$이 짝수일 때는 추가로 ${\displaystyle m}$차 불변 다항식

${\displaystyle q(M)=\epsilon ^{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}\dotsb i_{m}j_{m}}M_{i_{1}j_{1}}\dotsm M_{i_{m}j_{m}}}$

이 존재한다.

• Greub, Werner; Halperin, Stephen; Vanstone, Ray (1973). 《Connections, curvature, and cohomology. Volume Ⅲ. Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces》 (영어). Academic Press. doi:10.1016/S0079-8169(08)60498-5. ISBN 978-0-12-302703-0. 

• “Invariant polynomial”. 《nLab》 (영어). 
• “Weil algebra”. 《nLab》 (영어).