수리논리학에서 보존적 확장(保存的擴張, 영어: conservative extension)은 주어진 이론을 확장하되, 원래 이론의 언어로서 나타낼 수 있는 모든 명제의 증명 가능성 여부가 바뀌지 않게 하는 확장이다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 1차 논리 언어 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$과 그 확장 ${\displaystyle {\mathcal {L}}'\supseteq {\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-문장들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$-문장들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {T}}'\supseteq {\mathcal {T}}}$

만약 다음 조건이 성립한다면, ${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$이 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$의 (증명 이론적) 보존적 확장(영어: proof-theoretic conservative extension)이라고 한다.^{[1]:37, Theorem 1.13.2}

${\displaystyle \{\phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})\colon {\mathcal {T}}\vdash \phi \}=\{\phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})\colon {\mathcal {T}}'\vdash \phi \}}$

즉, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$로 서술할 수 있는 문장에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-증명 가능성은 ${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$-증명 가능성과 동치이다.

만약 다음 조건이 성립한다면, ${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$이 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$의 모형 이론적 보존적 확장(영어: model-theoretic conservative extension)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-구조 ${\displaystyle M}$에 대하여 ${\displaystyle M\models {\mathcal {T}}}$라면, ${\displaystyle M'|_{\mathcal {L}}=M}$이자 ${\displaystyle M'\models {\mathcal {T}}'}$인 ${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$-구조 ${\displaystyle M'}$이 항상 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요는 없다.)

이론 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$의 증명 이론적 보존적 확장 ${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$가 무모순적인지 여부는 ${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$가 무모순적인지 여부와 동치이다.

${\displaystyle \operatorname {Con} ({\mathcal {T}})\iff \operatorname {Con} ({\mathcal {T}}')}$

(여기서 ${\displaystyle \bot }$은 거짓인 문장이다.)

무모순적 이론 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$의 확장 ${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {T}}'\vdash \operatorname {Con} ({\mathcal {T}})}$라면, 괴델의 불완전성 정리에 따라 ${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$은 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$의 보존적 확장이 아니다.

언어 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$의 1차 논리 문장들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})}$이 주어졌다고 하고, ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$로부터 다음과 같은 꼴의 문장을 증명할 수 있다고 하자.

${\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \forall x_{1}\forall x_{2}\cdots \forall x_{m}\exists y_{1}\exists y_{2}\cdots \exists y_{n}\phi (x_{1},\dots ,x_{m},y_{n},\dots ,y_{n})}$

여기서 논리식 ${\displaystyle \phi }$의 자유 변수들은 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{n},\dots ,y_{n}}$이며, ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$은 자연수이다 (특히, 0일 수 있다).

그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$에 ${\displaystyle n}$개의 새 ${\displaystyle m}$항 연산 기호 ${\displaystyle {\mathsf {f}}_{1},\dots ,{\mathsf {f}}_{n}}$를 추가한 언어를 ${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$이라고 하고,

${\displaystyle {\mathcal {T}}'={\mathcal {T}}\cup \{\forall x_{1}\forall x_{2}\cdots \forall x_{m}\phi \left(x_{1},\dots ,x_{m},{\mathsf {f}}_{1}(x_{1},\dots ,x_{m}),\dots ,{\mathsf {f}}_{n}(x_{1},\dots ,x_{m})\right)\}\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}')}$

을 정의하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$은 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$의 모형 이론적 보존적 확장이다.