대수적 위상수학 에서 마이어-피토리스 열 (Mayer-Vietoris列, 영어 : Mayer–Vietoris sequence )는 어떤 위상 공간 을 두 열린 부분공간으로 나눈 경우, 그 호몰로지 군 들에 대한 긴 완전열 이다. 기본군 의 자이페르트-판 캄펀 정리 와 유사하게, 공간의 호몰로지 군 을 더 단순한 부분 공간들로 쪼개어 계산하는 데 쓰인다. 대수적 위상수학 에서 가장 핵심적인 도구 가운데 하나다.
정의
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 두 부분 집합
A
,
B
⊂ ⊂ -->
X
{\displaystyle A,B\subset X}
들의 내부
int
-->
(
A
)
,
int
-->
(
B
)
⊂ ⊂ -->
X
{\displaystyle \operatorname {int} (A),\operatorname {int} (B)\subset X}
가
X
{\displaystyle X}
의 열린 덮개 를 이룬다고 하자. 즉,
int
-->
(
A
)
∪ ∪ -->
int
-->
(
B
)
=
X
{\displaystyle \operatorname {int} (A)\cup \operatorname {int} (B)=X}
라고 하자. 이 사이에 포함 사상들을 다음과 같이 적자.
i
: : -->
A
∩ ∩ -->
B
↪ ↪ -->
A
{\displaystyle i\colon A\cap B\hookrightarrow A}
j
: : -->
A
∩ ∩ -->
B
↪ ↪ -->
B
{\displaystyle j\colon A\cap B\hookrightarrow B}
k
: : -->
A
↪ ↪ -->
X
{\displaystyle k\colon A\hookrightarrow X}
l
: : -->
B
↪ ↪ -->
X
{\displaystyle l\colon B\hookrightarrow X}
이에 따라서 다음과 같은 호몰로지 군 사이의 군 준동형 을 유도할 수 있다.
i
∗ ∗ -->
: : -->
H
n
(
A
∩ ∩ -->
B
)
→ → -->
H
n
(
A
)
{\displaystyle i_{*}\colon H_{n}(A\cap B)\to H_{n}(A)}
j
∗ ∗ -->
: : -->
H
n
(
A
∩ ∩ -->
B
)
→ → -->
H
n
(
B
)
{\displaystyle j_{*}\colon H_{n}(A\cap B)\to H_{n}(B)}
k
∗ ∗ -->
: : -->
H
n
(
A
)
→ → -->
H
n
(
X
)
{\displaystyle k_{*}\colon H_{n}(A)\to H_{n}(X)}
l
∗ ∗ -->
: : -->
H
n
(
B
)
→ → -->
H
n
(
X
)
{\displaystyle l_{*}\colon H_{n}(B)\to H_{n}(X)}
또한, 다음과 같은 군 준동형을 생각하자. 임의의 닫힌
n
{\displaystyle n}
차 특이 호몰로지 사슬
x
∈ ∈ -->
C
n
(
X
)
{\displaystyle x\in C_{n}(X)}
는
A
{\displaystyle A}
에 속한 사슬과
B
{\displaystyle B}
에 속한 사슬로 분해할 수 있다. (이러한 분해는 물론 유일하지 않다.)
x
=
u
+
v
{\displaystyle x=u+v}
(
u
∈ ∈ -->
C
n
(
A
)
{\displaystyle u\in C_{n}(A)}
,
v
∈ ∈ -->
C
n
(
B
)
{\displaystyle v\in C_{n}(B)}
)
∂ ∂ -->
u
=
− − -->
∂ ∂ -->
v
∈ ∈ -->
C
n
− − -->
1
(
A
∩ ∩ -->
B
)
{\displaystyle \partial u=-\partial v\in C_{n-1}(A\cap B)}
그렇다면 군 준동형
∂ ∂ -->
∗ ∗ -->
: : -->
H
n
(
X
)
→ → -->
H
n
− − -->
1
(
A
∩ ∩ -->
B
)
{\displaystyle \partial _{*}\colon H_{n}(X)\to H_{n-1}(A\cap B)}
을 다음과 같이 정의할 수 있다.
∂ ∂ -->
∗ ∗ -->
: : -->
[
x
]
↦ ↦ -->
[
∂ ∂ -->
u
]
=
− − -->
[
∂ ∂ -->
v
]
∈ ∈ -->
H
n
− − -->
1
(
A
∩ ∩ -->
B
)
{\displaystyle \partial _{*}\colon [x]\mapsto [\partial u]=-[\partial v]\in H_{n-1}(A\cap B)}
그렇다면, 다음과 같은 특이 호몰로지 사슬 복합체 에 대한 짧은 완전열 이 존재한다.
0
→ → -->
C
∙ ∙ -->
(
A
∩ ∩ -->
B
)
→
(
i
∗ ∗ -->
,
j
∗ ∗ -->
)
C
∙ ∙ -->
(
A
)
⊕ ⊕ -->
C
∙ ∙ -->
(
B
)
→
k
∗ ∗ -->
− − -->
l
∗ ∗ -->
C
∙ ∙ -->
(
X
)
→ → -->
0
{\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A\cap B){\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}C_{\bullet }(A)\oplus C_{\bullet }(B){\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}C_{\bullet }(X)\to 0}
이 짧은 완전열 에 지그재그 보조정리 를 적용해, 다음과 같은 긴 완전열 이 존재함을 알 수 있다. 이 완전열을 마이어-피토리스 열 이라고 한다.
⋯ ⋯ -->
→ → -->
H
n
+
1
(
X
)
→
∂ ∂ -->
∗ ∗ -->
H
n
(
A
∩ ∩ -->
B
)
→
(
i
∗ ∗ -->
,
j
∗ ∗ -->
)
H
n
(
A
)
⊕ ⊕ -->
H
n
(
B
)
→
k
∗ ∗ -->
− − -->
l
∗ ∗ -->
H
n
(
X
)
→
∂ ∂ -->
∗ ∗ -->
H
n
− − -->
1
(
A
∩ ∩ -->
B
)
→ → -->
⋯ ⋯ -->
→ → -->
H
0
(
A
)
⊕ ⊕ -->
H
0
(
B
)
→
k
∗ ∗ -->
− − -->
l
∗ ∗ -->
H
0
(
X
)
→ → -->
0
{\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B){\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}H_{n}(A)\oplus H_{n}(B){\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B){\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}H_{0}(X)\to 0}
축소 호몰로지 (reduced homology)
H
~ ~ -->
n
(
X
)
=
H
n
(
X
)
/
H
n
(
{
∙ ∙ -->
}
)
{\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=H_{n}(X)/H_{n}(\{\bullet \})}
에 대해서도 비슷한 긴 완전열 이 존재한다.
역사
오스트리아 의 수학자 발터 마이어 (독일어 : Walther Mayer )와 레오폴트 피토리스 (독일어 : Leopold Vietoris )가 도입하였다. 마이어는 1926~1927년 동료 수학자 피토리스의 위상수학 강의를 듣게 되었다. 이 강의에서 피토리스는 오늘날 마이어-피토리스 열이라고 불리는 관계에 대한 가설을 세웠다. 그때까지 위상수학에 대하여 전혀 몰랐던 마이어는 피토리스의 강의를 듣고 곧 1929년에 가설을 호몰로지의 베티 수 에 대하여 증명하였다.[ 1] 이듬해 (1930년) 피토리스는 베티 수 뿐만 아니라 호몰로지 군 자체에 대한 마이어-피토리스 열의 존재를 증명하였다.[ 2] 이후 사무엘 에일렌베르크 와 노먼 스틴로드 가 완전열 의 개념을 도입하면서, 마이어와 피토리스의 준동형들이 긴 완전열 을 이룸을 지적하였다.
같이 보기
참고 문헌
외부 링크