리 대수 이론에서, 반직접합(半直接合, 영어: semidirect sum)은 두 리 대수의 직합 위에 정의되는 리 대수 구조이다. 이는 리 군의 반직접곱의 무한소 형태로 생각할 수 있다. 추상적으로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$ 위의 두 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
• 리 대수 준동형 ${\displaystyle \psi \colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {n}})}$
  • 여기서 ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(-)}$는 미분 리 대수이다.

그렇다면, ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle {\mathfrak {n}}\oplus _{K}{\mathfrak {h}}}$ 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 정의하자.

${\displaystyle [h,n]=\psi (h)n\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;n\in {\mathfrak {n}}}$

${\displaystyle [h,h']=[h,h']_{\mathfrak {h}}\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle [n,n']=[n,n']_{\mathfrak {n}}\qquad \forall n,n'\in {\mathfrak {n}}}$

이를 ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$과 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$의 ${\displaystyle \psi }$에 대한 반직접합이라고 하며, ${\displaystyle {\mathfrak {n}}\oplus _{\psi }{\mathfrak {h}}}$로 표기한다. 만약 ${\displaystyle \psi }$가 상수 함수 0이라면, 이는 리 대수의 직합과 같다.

군의 반직접곱과 마찬가지로, 리 대수의 반직접합에 대하여 분할 완전열

${\displaystyle 0\to {\mathfrak {n}}\to {\mathfrak {n}}\oplus _{\psi }{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}\to 0}$

이 존재한다. 즉, ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$은 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus _{\psi }{\mathfrak {n}}}$의 리 대수 아이디얼을 이룬다.

반대로, 리 대수의 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to {\mathfrak {n}}\to {\mathfrak {g}}\,{\overset {\pi }{\to }}\,{\mathfrak {h}}\to 0}$

가 주어졌을 때, 만약 이 완전열이 오른쪽 분할 완전열이라면 (즉, ${\displaystyle \pi \circ \sigma =\operatorname {id} _{\mathfrak {h}}}$가 되는 리 대수 준동형 ${\displaystyle \sigma \colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}}$가 존재한다면), 이를 통해

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}\oplus _{\psi }{\mathfrak {h}}}$

로 표현할 수 있다.

두 리 군 ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle N}$이 주어졌으며, ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle N}$ 위에 매끄럽게 작용한다고 하자.

${\displaystyle H\times N\to N}$

이는 자연스럽게 리 대수 준동형

${\displaystyle \psi \colon {\mathfrak {lie}}(H)\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {lie}}(N))}$

을 정의한다.

그렇다면, 이를 통해 반직접곱 리 군 ${\displaystyle N\rtimes H}$를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적으로 다음과 같은 리 대수 동형이 존재한다.

${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(H)\oplus _{\psi }{\mathfrak {lie}}(N)\cong {\mathfrak {lie}}(N\rtimes H)}$

즉, 반직접곱의 리 대수는 리 대수의 반직접합이다.

• Ostrowski, Tadeusz (2013). “A note on semidirect sum of Lie algebras”. 《Discussiones Mathematicae — General Algebra and Applications》 (영어) 33: 233–247. doi:10.7151/dmgaa.1208. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}

• “Semidirect product Lie algebra”. 《nLab》 (영어).