기하학에서 두 점 사이의 거리는 좌표평면에서 임의의 두 점 ${\displaystyle P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})}$을 예약하고,^[1]

점 ${\displaystyle P(x_{1},y_{1})}$에서 ${\displaystyle x}$축에 평행하게 그은 직선과 점 ${\displaystyle Q(x_{2},y_{2})}$에서 ${\displaystyle y}$축에 평행하게 그은 직선이 서로 만나는 점 ${\displaystyle O}$을 예약할 수 있다.

두 점 ${\displaystyle P,Q}$ 사이의 거리를 ${\displaystyle l}$이라고 가정했을때,

${\displaystyle \triangle OPQ}$는 ${\displaystyle l}$을 빗변으로 하는 직각삼각형이고, ${\displaystyle {\overline {OP}}=x_{2}-x_{1}\;,\;{\overline {OQ}}=y_{2}-y_{1}}$이므로,

${\displaystyle l^{2},l,{\overline {OP}},{\overline {OQ}}}$은 피타고라스 정리에 의해 다음과 같은 관계가 있다.

${\displaystyle l^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}}$

${\displaystyle l^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

${\displaystyle l={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$

따라서,

좌표평면에서 두 점 ${\displaystyle P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})}$가 있을 때 두 점 사이의 거리 ${\displaystyle l}$은 다음과 같다.

${\displaystyle l={\sqrt {({x_{2}}-{x_{1}})^{2}+({y_{2}}-{y_{1}})^{2}}}}$

한편,

이것은, 제2코사인법칙에서

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}-2\left({\overline {OP}}\cdot {{\overline {OQ}}cos(\alpha -\beta )}\right)}$

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=1^{2}+1^{2}-2\left(1\cdot {1cos(\alpha -\beta )}\right)}$

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left({cos(\alpha -\beta )}\right)}$

그리고

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left({cos(\alpha -\beta )}\right)=2-2\left(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \right)}$

${\displaystyle cos\left({\alpha -\beta }\right)=\left(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \right)}$

삼각함수의 덧셈정리이다.

• 거리공간
• 선분
• 제2코사인법칙
• 삼각함수
• 지리좌표 거리