0이 아닌 실수 계수 다항식 ${\displaystyle p\in \mathbb {R} [x]}$에 대하여, ${\displaystyle z(p)}$가 ${\displaystyle p}$의 양의 실수 근의 수라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle p}$의 음의 실수 근의 수는 ${\displaystyle z(p(-x))}$이다. 따라서 첫 번째 명제를 증명하면 충분하다. ${\displaystyle p(x)/x^{d_{0}}}$의 양의 실수 근의 수와 0이 아닌 계수의 부호가 변화하는 횟수는 모두 ${\displaystyle p}$와 일치한다. 따라서 이 증명에서 ${\displaystyle d_{0}=0}$이라고 가정하여도 무방하다.

${\displaystyle p}$의 양의 실수 근은 ${\displaystyle p}$의 그래프와 양의 x축의 교점이다. ${\displaystyle p}$의 그래프는 중복도가 홀수인 근에서 x축을 가로지르며, 중복도가 짝수인 근에서는 가로지르지 않는다. 따라서, 만약 ${\displaystyle p}$의 그래프가 양의 x축을 홀수 번 가로지른다면, ${\displaystyle z(p)}$는 홀수이며, 만약 짝수 번 가로지른다면 ${\displaystyle z(p)}$는 짝수이다. 이에 따라, 만약 ${\displaystyle a_{0}a_{n}<0}$이라면,

${\displaystyle p(0)<0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }p(x)=\infty }$

이거나

${\displaystyle p(0)>0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }p(x)=-\infty }$

이므로, ${\displaystyle p}$의 그래프는 양의 x축을 홀수 번 가로지르며, 따라서 ${\displaystyle z(p)}$는 홀수이다. 마찬가지로, 만약 ${\displaystyle a_{0}a_{n}>0}$이라면, ${\displaystyle p}$의 그래프는 양의 x축을 짝수 번 가로지르므로, ${\displaystyle z(p)}$는 짝수이다.

만약 ${\displaystyle p}$가 서로 다른 ${\displaystyle k}$개의 양의 실수 근

${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k}}$

을 가지며, 각 ${\displaystyle i}$번째 양의 실수 근 ${\displaystyle x_{i}}$의 중복도가 ${\displaystyle m_{i}}$라면, ${\displaystyle x_{i}}$의 미분 ${\displaystyle p'}$의 근으로서의 중복도는 최소 ${\displaystyle m_{i}-1}$이다. 또한, 롤의 정리에 따라 각 ${\displaystyle k-1}$개의 구간 ${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})}$ 속에도 ${\displaystyle p'}$의 근이 최소 하나씩 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.

${\displaystyle z(p')\geq (m_{1}-1)+(m_{2}-1)+\cdots +(m_{k}-1)+(k-1)=m_{1}+\cdots +m_{k}-1=z(p)-1}$

이제, ${\displaystyle n}$에 대하여 수학적 귀납법을 사용하자. 만약 ${\displaystyle n=0}$이라면,

${\displaystyle z(p)=v(p)=0}$

이므로 자명하게 성립한다.

이제, ${\displaystyle n-1}$에 대하여 정리가 성립한다고 가정하고 ${\displaystyle n}$에 대하여 성립함을 증명하자. 만약 ${\displaystyle a_{0}a_{1}<0}$이라면,

${\displaystyle v(p')=v(p)-1}$

${\displaystyle z(p')\equiv z(p)-1{\pmod {2}}}$

이며, 수학적 귀납법의 가정에 따라

${\displaystyle z(p')\leq v(p')}$

${\displaystyle z(p')\equiv v(p'){\pmod {2}}}$

이다. 따라서

${\displaystyle z(p)\leq z(p')+1\leq v(p')+1\leq v(p)}$

${\displaystyle z(p)\equiv z(p')+1\equiv v(p')+1=v(p){\pmod {2}}}$

이다.

만약 ${\displaystyle a_{0}a_{1}>0}$이라면,

${\displaystyle v(p')=v(p)}$

${\displaystyle z(p')\equiv z(p){\pmod {2}}}$

이며, 수학적 귀납법의 가정에 따라

${\displaystyle z(p')\leq v(p')}$

${\displaystyle z(p')\equiv v(p'){\pmod {2}}}$

이므로,

${\displaystyle z(p)\leq z(p')+1\leq v(p')+1=v(p)+1}$

${\displaystyle z(p)\equiv z(p')\equiv v(p')=v(p){\pmod {2}}}$

이다. 위 합동식에 따라 ${\displaystyle z(p)\neq v(p)+1}$이므로 결국 ${\displaystyle z(p)\leq v(p)}$이다.