대수적 수론에서 대수적 독립 집합(代數的獨立集合, 영어: algebraically independent set)은 어떤 부분체 계수의 자명하지 않은 다항식을 만족시키지 않는, 체의 부분 집합이다.

체 ${\displaystyle L}$의 부분환인 체 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. (즉, ${\displaystyle L/K}$는 체의 확대이다.)

${\displaystyle L}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq L}$에 대하여, 다음 두 조건이 (정의에 따라) 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 ${\displaystyle L/K}$에 대한 대수적 독립 집합이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle K\cup S\setminus \{s\}}$로 생성되는 체 ${\displaystyle K\leq {\tilde {K}}\leq L}$를 생각한다면, ${\displaystyle s}$는 ${\displaystyle {\tilde {K}}}$의 초월원이다.
• 임의의 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 및 다항식 ${\displaystyle p\in K[x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$ 및 ${\displaystyle s_{0},s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{n}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle p(s_{0},s_{1},\dotsc ,s_{n})=0}$이라면, ${\displaystyle s_{0}=s_{i}}$인 ${\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}}$가 존재하거나, ${\displaystyle \partial p/\partial x_{0}=0}$이다.

${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$에 대한 대수적 독립 유한 집합 ${\displaystyle S}$가 주어졌으며, ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$에 대하여 선형 독립 집합이라고 하자. 린데만-바이어슈트라스 정리(Lindemann-Weierstraß定理, 영어: Lindemann–Weierstrass theorem)에 따르면, ${\displaystyle \{\exp s\colon s\in S\}}$ 역시 ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$에 대한 대수적 독립 집합이다.

체의 확대 ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ 속에서, 정의에 따라, 한원소 집합 ${\displaystyle \{x\}}$이 대수적 독립 집합일 필요 충분 조건은 ${\displaystyle x}$가 초월수인 것이다.

${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합이다.

• ${\displaystyle \{\pi \}}$
• ${\displaystyle \{\mathrm {e} \}}$

${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합이 아니다.

• ${\displaystyle \{{\sqrt {3}}+3/4\}}$
• ${\displaystyle \{\pi ,{\sqrt {3}}+3/4\}}$
• ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$. 예를 들어, ${\displaystyle p(x,y)=2x^{2}-y+1}$에 대하여 ${\displaystyle p({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0}$이다.
• ${\displaystyle \{\pi ,\exp \pi ,\Gamma (1/4)\}}$
• ${\displaystyle \{\pi ,\exp(\pi {\sqrt {3}}),\Gamma (1/3)\}}$
• 임의의 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle \{\pi ,\exp(\pi {\sqrt {n}})\}}$

2018년 기준으로, ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합인지 여부가 알려지지 않았다.

• ${\displaystyle \{\pi +\mathrm {e} \}}$
• ${\displaystyle \{\pi ,\mathrm {e} \}}$

린데만-바이어슈트라스 정리는 카를 바이어슈트라스가 1885년에 증명하였다.^[1]

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraically independent”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lindemann-Weierstrass theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.