선형대수학과 함수해석학에서 내적 공간(內積空間, 영어: inner product space)은 두 벡터의 쌍에 스칼라를 대응시키는 일종의 함수가 주어진 벡터 공간이다. 내적 공간 위에서는 벡터의 길이나 각도 등의 개념을 다룰 수 있다. 스칼라곱을 갖춘 유클리드 공간의 일반화이다.

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 내적(內積, 영어: inner product)은 양의 정부호 에르미트 반쌍선형 형식이다. (실수의 경우 이는 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식과 같다.) 즉, 다음 조건들을 만족시키는 함수

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to \mathbb {K} }$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon (u,v)\mapsto \langle u,v\rangle }$

이다.

• (양의 정부호성) 임의의 ${\displaystyle 0\neq v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle \langle v,v\rangle >0}$
• (에르미트성) 임의의 ${\displaystyle u,v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}}$
• (왼쪽 선형성) 임의의 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {K} }$ 및 ${\displaystyle u,v,w\in V}$에 대하여, ${\displaystyle \langle au+bv,w\rangle =a\langle u,w\rangle +b\langle v,w\rangle }$

이들 성질로부터 내적의 다음과 같은 성질을 유도할 수 있다.

• (오른쪽 반쌍선형성) 임의의 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {K} }$ 및 ${\displaystyle u,v,w\in V}$에 대하여, ${\displaystyle \langle w,au+bv\rangle ={\bar {a}}\langle w,u\rangle +{\bar {b}}\langle w,v\rangle }$

내적이 주어진 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$을 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-내적 공간이라고 한다. 특히 ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$인 경우, 즉 복소수체 위의 내적 공간은 유니터리 공간(영어: unitary space)이라고 부르기도 한다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-내적 공간 ${\displaystyle V}$ 위에 자연스러운 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.

${\displaystyle \Vert v\Vert ={\sqrt {\langle v,v\rangle }}}$

반대로, ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간이 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-내적 공간으로부터 유도될 필요충분조건은 평행 사변형 법칙

${\displaystyle 2\Vert u\Vert ^{2}+2\Vert v\Vert ^{2}=\Vert u+v\Vert ^{2}+\Vert u-v\Vert ^{2}\qquad \forall u,v\in V}$

이다. 이 경우, 가능한 유일한 내적은 다음과 같으며, 이를 극화 항등식(極化恒等式, 영어: polarization identity)이라고 한다.

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\begin{cases}{\frac {1}{4}}\Vert u+v\Vert ^{2}-{\frac {1}{4}}\Vert u-v\Vert ^{2}&\mathbb {K} =\mathbb {R} \\{\frac {1}{4}}\Vert u+v\Vert ^{2}-{\frac {1}{4}}\Vert u-v\Vert ^{2}+{\frac {i}{4}}\Vert u+iv\Vert ^{2}-{\frac {i}{4}}\Vert u-iv\Vert ^{2}&\mathbb {K} =\mathbb {C} \end{cases}}}$

내적 공간 ${\displaystyle V}$의 벡터 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립하며, 이를 코시-슈바르츠 부등식이라고 한다.

${\displaystyle |\langle u,v\rangle |\leq \Vert u\Vert \Vert v\Vert }$

${\displaystyle |\langle u,v\rangle |=\Vert u\Vert \Vert v\Vert \iff \operatorname {rank} \{u,v\}<2}$

이에 따라, 두 벡터 ${\displaystyle u,v\in V}$ 사이의 각도를 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \arccos {\frac {\operatorname {Re} \langle u,v\rangle }{\Vert u\Vert \Vert v\Vert }}}$

또한, 내적이 유도하는 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식을 통해 증명된다.

내적 공간 ${\displaystyle V}$의 정규 직교 기저(正規直交基底, 영어: orthonormal basis)는 서로 다른 두 벡터의 내적이 항상 0인 단위 벡터들이 이루는 기저이다. 즉, 이는 다음 조건들을 만족시키는 기저 ${\displaystyle B\subseteq V}$이다.

• (직교성) 만약 ${\displaystyle e,e'\in B}$이며 ${\displaystyle e\neq e'}$라면, ${\displaystyle \langle e,e'\rangle =0}$
• (정규성) 임의의 ${\displaystyle e\in B}$에 대하여, ${\displaystyle \Vert e\Vert =1}$

유한 차원 내적 공간의 정규 직교 기저는 항상 존재한다. 이는 그람-슈미트 과정을 통해 구성할 수 있다.

내적 공간 ${\displaystyle V}$의 벡터 ${\displaystyle v\in V}$의 정규 직교 기저 ${\displaystyle B}$에 대한 좌표는 다음과 같다.

${\displaystyle v=\sum _{e\in B}\langle v,e\rangle e}$

또한, 이 좌표 아래 내적을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\sum _{e\in B}\langle u,e\rangle {\overline {\langle v,e\rangle }}}$

내적 공간 ${\displaystyle V}$ 속의 유한 정규 직교 집합 ${\displaystyle S\subseteq V\setminus \{0\}}$ 및 벡터 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, 베셀 부등식과 유사한 꼴의 다음과 같은 부등식이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{e\in S}|\langle v,e\rangle |^{2}\leq \Vert v\Vert ^{2}}$

${\displaystyle \sum _{e\in S}|\langle v,e\rangle |^{2}=\Vert v\Vert ^{2}\iff v=\sum _{e\in S}\langle v,e\rangle e}$

유한 차원 내적 공간 ${\displaystyle V}$의 모든 선형 범함수는 어떤 유일한 고정된 벡터 ${\displaystyle v\in V}$와의 내적

${\displaystyle V\to \mathbb {K} }$

${\displaystyle u\mapsto \langle u,v\rangle }$

이다. 구체적으로, 정규 직교 기저 ${\displaystyle B\subseteq V}$가 주어졌을 때, 선형 범함수 ${\displaystyle f\colon V\to F}$를 나타내는 벡터는 다음과 같다.

${\displaystyle v=\sum _{e\in B}{\overline {f(e)}}e}$

이에 따라, 유한 차원 내적 공간의 선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to V}$의 수반 선형 변환 ${\displaystyle T^{*}\colon V\to V}$은 다음과 같이 항상 존재한다.

${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle \qquad \forall u,v\in V}$

그러나 무한 차원 내적 공간의 경우 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \langle p,q\rangle =\int _{a}^{b}p(x){\overline {q(x)}}dx=\sum _{k=0}^{\deg p}\sum _{k'=0}^{\deg q}{\frac {p_{k}{\overline {q_{k'}}}}{k+k'+1}}}$

이 경우, 임의의 ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$가 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수는 고정된 벡터와의 내적으로 나타낼 수 없다.

${\displaystyle \mathbb {C} [x]\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle p\mapsto p(c)}$

또한 미분 선형 변환

${\displaystyle D\colon \mathbb {C} [x]\to \mathbb {C} [x]}$

${\displaystyle D\colon x^{n}\mapsto nx^{n-1}\qquad n=0,1,2,\dots }$

의 수반 선형 변환은 존재하지 않는다.

${\displaystyle n}$차원 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ 위의 표준적인 내적은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\overline {y_{k}}}}$

${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$일 때, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$은 유클리드 공간이며, 이 내적은 스칼라곱이라고 부른다. 이 경우 실수의 켤레 복소수는 스스로와 일치한다 (${\displaystyle {\overline {y_{k}}}=y_{k}}$). 이 내적이 유도하는 노름은 L² 노름이다. 그러나 ${\displaystyle p\neq 2}$의 경우, L^p 노름은 평행 사변형 법칙을 만족시키지 않으므로 내적으로부터 유도될 수 없다.

특히, ${\displaystyle n=1}$인 경우 ${\displaystyle \mathbb {K} }$는 1차원 벡터 공간이며, 위 내적은 단순히

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}$

이다.

마찬가지로, 실수 또는 복소수 성분 행렬들의 집합 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {K} )}$은 ${\displaystyle mn}$차원 벡터 공간을 이룬다. 이 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\operatorname {tr} (X^{\dagger }{\bar {Y}})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}X_{ij}{\overline {Y_{ij}}}}$

이를 프로베니우스 내적이라고 한다.

보다 일반적으로, 양의 정부호 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {K} )}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }M{\bar {y}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}M_{ij}x_{i}{\overline {y_{j}}}}$

연속 함수의 공간 ${\displaystyle {\mathcal {C}}([a,b];\mathbb {K} )}$에는 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx}$

여기서 우변의 적분은 리만 적분이다. 또한, 다음과 같은 내적을 정의할 수도 있다.

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}x^{2}f(x){\overline {g(x)}}dx}$

가측 함수 ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to \mathbb {K} }$들의 (거의 어디서나 같음에 대한) 동치류들로 구성된 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(\Omega ;\mathbb {K} )}$ 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f{\overline {g}}d\mu }$

여기서 우변은 르베그 적분이다. 이를 L² 공간이라고 한다. 특히, ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$가 확률 공간일 때, ${\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(\Omega ;\mathbb {K} )}$은 확률 변수들의 동치류들로 이루어지며, 적분은 기댓값이다. 따라서, 두 확률 변수 ${\displaystyle X,Y\colon \Omega \to \mathbb {K} }$의 내적은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\operatorname {E} (X{\overline {Y}})}$

가측 함수나 확률 변수의 동치류를 취하는 것은 내적을 양의 정부호적이게 만들기 위함이다. 예를 들어, ${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$일 필요충분조건은 거의 확실하게 ${\displaystyle X=0}$인 것이다 (${\displaystyle \mu (X=0)=1}$). 따라서, 스스로와의 내적이 0인 경우가 0밖에 없으려면 거의 어디서나 같은 함수들을 하나의 동치류로 뭉뚱그려야 한다.

• 벡터곱
• 외대수
• 쌍선형 형식
• 쌍대공간

• Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). 《Linear algebra》 (영어) 2판. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. MR 0276251. Zbl 0212.36601. Internet Archive LinearAlge(…). 

• “Inner product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner product space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Inner product space”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Inner product”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Inner product space”. 《nLab》 (영어). 
• “Norms Induced by Inner Products and the Parallelogram Law”. 《Stack Exchange》 (영어). 2018년 2월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 2월 2일에 확인함.