구간의 분할

수학에서, 실직선 위의 구간 [a, b]의 분할(分割, 영어: partition)이란 다음의

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b

관계에 있는 실수 x0, x1, x2, ..., xn로 구성된 유한 수열이다.

리만 합에서 사용하는 구간의 태그된 분할. 분할 자체는 아래의 회색 선으로 표시하였고, 그 중 한 부분구간을 빨간색으로 나타내었다.

다르게 말하면, 콤팩트 구간 I의 분할이란 I의 시작점에서 끝점까지 순증가하는 수들로 구성된 수열이다. 각 구간 [xi, xi + 1]을 분할의 부분구간이라 한다.

분할의 세분

구간 [a,b]의 분할 P와 Q에 대해, Q가 P의 모든 점을 포함할 때 Q를 P의 세분(영어: refinement)이라 하고 Q가 P보다 섬세하다고 한다. 또 두 분할 P와Q에 대하여 두 분할의 모든 점들로 구성된 분할을 공통세분이라 하고 P ∨ Q라 쓴다.[1] 어떤 분할이 다른 분할의 세분일 때, 더 섬세한 분할이 더 크다고 순서 관계를 정의하면 이는 부분 순서가 된다.

분할의 노름

아래처럼 주어진 분할

x0 < x1 < x2 < ... < xn

의 노름(영어: norm) 또는 메시(영어: mesh)란 각 부분구간들의 길이의 최댓값

max{|xi − xi−1| : i = 1, ... , n }

이다.[2][3]

태그된 분할

주어진 구간에 대해 태그된 분할(영어: tagged partition)이란[4] 각 i에 대해 다음 조건

xi ≤ ti ≤ xi + 1

을 만족하는 수들로 구성된 유한 수열 t0, ..., tn − 1을 가지는 분할이다. 다시 말해 태그된 분할이란 각 부분구간들에서 점을 한 개씩 선택한 분할로, 기존 분할과 동일하게 노름을 정의한다. 태그된 분할 P와 Q에 대해 Q가 P의 분할 위의 모든 점들과 함께 모든 태그들, 즉 각 부분구간에서 선택한 점들을 모두 포함할 때 Q가 P의 세분이라 한다.

리만 합

구간의 분할은 리만 적분과 리만-스틸체스 적분에서 사용된다. 주어진 구간의 분할이 더 섬세할수록 분할의 노름은 0에 가까워지고, 따라서 리만 합은 리만 적분값에 수렴한다.[5]

같이 보기

각주

  1. ↑ Brannan, D. A. (2006). 《A First Course in Mathematical Analysis》. Cambridge University Press. 262쪽. ISBN 9781139458955. 
  2. ↑ Hijab, Omar (2011). 《Introduction to Calculus and Classical Analysis》. Springer. 60쪽. ISBN 9781441994882. 
  3. ↑ Zorich, Vladimir A. (2004). 《Mathematical Analysis II》. Springer. 108쪽. ISBN 9783540406334. 
  4. ↑ Dudley, Richard M.; Norvaiša, Rimas (2010). 《Concrete Functional Calculus》. Springer. 2쪽. ISBN 9781441969507. 
  5. ↑ Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2006). 《A Course in Calculus and Real Analysis》. Springer. 213쪽. ISBN 9780387364254. 

참고 문헌