공분산(共分散, 영어: covariance)은 2개의 확률변수의 선형 관계를 나타내는 값이다.^[1] 만약 2개의 변수중 하나의 값이 상승하는 경향을 보일 때 다른 값도 상승하는 선형 상관성이 있다면 양수의 공분산을 가진다.^[2] 반대로 2개의 변수중 하나의 값이 상승하는 경향을 보일 때 다른 값이 하강하는 선형 상관성을 보인다면 공분산의 값은 음수가 된다. 이렇게 공분산은 상관관계의 상승 혹은 하강하는 경향을 이해할 수 있으나 2개 변수의 측정 단위의 크기에 따라 값이 달라지므로 상관분석을 통해 정도를 파악하기에는 부적절하다. 상관분석에서는 상관관계의 정도를 나타내는 단위로 모상관계수로는 그리스 문자 ρ를, 표본상관계수로는 알파벳 s를 사용한다.

공분산의 정의는 다음과 같다.

여기서 실수값을 지니는 2개의 확률변수 X와 Y에 대해서 공분산의 기댓값

${\displaystyle E(X)=\mu ,\quad E(Y)=\nu }$

을 사용하고, 기댓값 연산자 E를 정리하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (X\cdot Y)-\mu \nu \,}$

만약 X와 Y가 독립이라면 공분산은 0이 될 것이고 이 경우 아래와 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)=\mu \nu }$

2번째 식을 3번째식에 대입하면 아래과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\mu \nu -\mu \nu =0}$

일반적으로 역은 성립하지 않는다. 즉 X와 Y가 독립이 아니라하더라도 공분산의 값은 0이 될 수 있다.

Cov(X, Y)의 단위는 X와 Y의 곱이다. 상관관계는 공분산값을 필요로하며, 선형독립의 무차원수로 볼 수 있다.

공분산이 0인 확률변수를 비상관 확률변수라고 한다.

만약 X, Y가 실수값인 확률변수이고 a, b상수라면, 공분산에 대해서 아래와 같은 법칙이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {Var} (X)\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {Cov} (Y,X)\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (aX,bY)=ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\,}$

확률변수인 X₁, ..., X_n 과 Y₁, ..., Y_m에 대해서 아래와 같은 법칙이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Cov} \left(\sum _{i=1}^{n}{X_{i}},\sum _{j=1}^{m}{Y_{j}}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{m}{\operatorname {Cov} \left(X_{i},Y_{j}\right)}}}$

확률변수인 X₁, ..., X_n에 대해서 아래와 같은 법칙이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{i,j\,:\,i<j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}$

공분산의 많은 성질은 내적이 가지는 성질과 유사하다.:

(1) 이중선형연산: 상수 a와 b 그리고 확률변수 X, Y, U, Cov(aX + bY, U) = a Cov(X, U) + bCov(Y, U)

(2) 대칭성: Cov(X, Y) = Cov(Y, X)

(3) 양수값: Var(X) = Cov(X, X) ≥ 0이고 Cov(X, X) = 0 이란 것은 X가 상수확률변수(K)라는 뜻이다.

공분산은 확률변수들의 벡터 공간 상에서의 내적을 의미한다. 벡터에서 적용되는 벡터합 X + Y 및 aX와 같은 스칼라곱의 성질도 지닌다.

열벡터값을 가지는 확률변수X 와 Y 가 각각 μ 와 ν라는 기댓값을 가질 때 공분산m×n 행렬은 아래와 같다.

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu )^{\top })}$

벡터확률변수를 가지는 Cov(X, Y) 와 Cov(Y, X)는 각각의 전치행렬이다.

공분산은 때때로 2개의 확률변수간의 선형의존성을 나타내는 척도로도 사용된다. 이것은 선형대수에서 의미하는 선형의존성을 말하는 것은 아니다. 공분산을 정규화시키면 상관관계를 보여주는 상관행렬(Correlation_matrix)을 얻을 수 있다. 이로부터 Pearson Coefficient값을 얻을 수 있고 두개의 확률변수의 관계를 최적으로 설명가능한 선형함수를 표현가능하게 해준다. 이러한 점에서 공분산은 독립성의 선형척도로 볼 수 있다.

피어슨 상관계수에 사용되는 표본 공분산(sample covariance)은 다음과 같다.

${\displaystyle Cov(X,Y)={{\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)} \over {n-1}}}$

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