M이론 에서 U-이중성 (U-二重性, 영어 : U-duality )은 S-이중성 과 T-이중성 에 의하여 생성되는, M이론 의 이산 대칭군이다.
M이론을
1
≤ ≤ -->
n
≤ ≤ -->
8
{\displaystyle 1\leq n\leq 8}
원환면
T
n
{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}
축소화 하였다고 하자. 그렇다면 그 U-이중성군은 일반적으로 예외 단순 리 군 En (n )n (n )n 영어 : split ) 비콤팩트 실수 형태이다.) 이들은 다음과 같다.[ 1] :345–350,636 [ 2] :278–281 [ 3] [ 4]
축소화 한 차원 수Ⅱ종 초끈 이론 T-이중성 군
초중력 U-이중성군M이론 U-이중성군
1
1
E1(1) =SL(2;ℝ)
E1(1) (ℤ)=SL(2;ℤ)
2
1
E2(2) =SL(2;ℝ)×ℝ+
E2(2) (ℤ)=SL(2;ℤ)
3
O(2,2;ℤ)=SL(2;ℤ)×SL(2;ℤ)
E3(3) =SL(2;ℝ)×SL(3;ℝ)
E3(3) (ℤ)=SL(2;ℤ)×SL(3;ℤ)
4
O(3,3;ℤ)=SL(4;ℤ)
E4(4) =SL(5;ℝ)
E4(4) (ℤ)=SL(5;ℤ)
5
O(4,4;ℤ)
E5(5) =SO(5,5;ℝ)
E5(5) (ℤ)=SO(5,5;ℤ)
6
O(5,5;ℤ)
E6(6) E6(6) (ℤ)⊂E6(6)
7
O(6,6;ℤ)
E7(7) E7(7) (ℤ)⊂E7(7)
8
O(7,7;ℤ)
E8(8) E8(8) (ℤ)⊂E8(8)
여기서
n
=
1
{\displaystyle n=1}
초끈 이론 의 SL(2;ℤ) S-이중성 이다.
En 이들 U-이중성군 En (n )
O
(
n
− − -->
1
,
n
− − -->
1
;
Z
)
{\displaystyle O(n-1,n-1;\mathbb {Z} )}
n
{\displaystyle n}
원환면
T
n
{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}
자기 동형군
SL
-->
(
n
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}
E
8
⊃ ⊃ -->
O
(
14
)
,
S
L
(
8
)
{\displaystyle E_{8}\supset O(14),SL(8)}
E
7
⊃ ⊃ -->
O
(
12
)
,
S
L
(
7
)
{\displaystyle E_{7}\supset O(12),SL(7)}
E
6
⊃ ⊃ -->
O
(
10
)
,
S
L
(
6
)
{\displaystyle E_{6}\supset O(10),SL(6)}
E
5
=
O
(
10
)
⊃ ⊃ -->
O
(
8
)
,
S
L
(
5
)
{\displaystyle E_{5}=O(10)\supset O(8),SL(5)}
E
4
=
S
L
(
5
)
⊃ ⊃ -->
O
(
6
)
=
S
L
(
4
)
,
S
L
(
4
)
{\displaystyle E_{4}=SL(5)\supset O(6)=SL(4),SL(4)}
E
3
=
S
L
(
2
)
× × -->
S
L
(
3
)
⊃ ⊃ -->
O
(
4
)
=
S
L
(
2
)
× × -->
S
L
(
2
)
,
S
L
(
3
)
{\displaystyle E_{3}=SL(2)\times SL(3)\supset O(4)=SL(2)\times SL(2),SL(3)}
E
2
=
S
L
(
2
)
× × -->
U
(
1
)
⊃ ⊃ -->
O
(
3
)
=
S
L
(
2
)
,
S
L
(
2
)
{\displaystyle E_{2}=SL(2)\times U(1)\supset O(3)=SL(2),SL(2)}
E
1
=
S
L
(
2
)
⊃ ⊃ -->
O
(
2
)
=
U
(
1
)
,
S
L
(
1
)
=
1
{\displaystyle E_{1}=SL(2)\supset O(2)=U(1),SL(1)=1}
또한, 이 U-이중성 가운데 일부는 행렬 이론 으로 설명될 수 있다.[ 1] :636 [ 5] :§7
여기서,
E
n
(
n
)
(
Z
)
{\displaystyle {\mathsf {E}}_{n(n)}(\mathbb {Z} )}
리 군
E
n
(
n
)
{\displaystyle {\mathsf {E}}_{n(n)}}
부분군 을 가진다.
SO
-->
(
n
− − -->
1
,
n
− − -->
1
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (n-1,n-1;\mathbb {R} )}
SL
-->
(
n
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (n;\mathbb {R} )}
이에 따라서,
E
n
(
n
)
(
Z
)
{\displaystyle {\mathsf {E}}_{n(n)}(\mathbb {Z} )}
합집합 으로 생성되는 부분군이다.[ 5] :(4.10)
SO
-->
(
n
− − -->
1
,
n
− − -->
1
;
Z
)
∪ ∪ -->
SL
-->
(
n
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (n-1,n-1;\mathbb {Z} )\cup \operatorname {SL} (n;\mathbb {Z} )}
이 두 이산 부분군은 각각 다음과 같이 유래한다.
SL
-->
(
n
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (n;\mathbb {Z} )}
M이론 을 콤팩트화한 원환면
T
n
{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}
방향 보존) 사상류군 이다. (M이론 은 일반 상대성 이론 을 포함하므로, 미분 동형 사상 은 이론의 대칭이어야 한다.) 이는 특히 ⅡB 초끈 이론의 S-이중성
SL
-->
(
2
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )}
SO
-->
(
n
− − -->
1
,
n
− − -->
1
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (n-1,n-1;\mathbb {Z} )}
T
n
− − -->
1
{\displaystyle \mathbb {T} ^{n-1}}
T-이중성 대칭군이다.
크리스토퍼 마이클 헐(Christopher Michael Hull )과 폴 킹즐리 타운젠드(Paul Kingsley Townsend )가 1995년 발견하고 명명하였다.[ 6]
↑ 가 나 Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John Henry (2006년 12월). 《String theory and M-theory: a modern introduction》 (영어). Cambridge University Press. Bibcode :2007stmt.book.....B . doi :10.2277/0511254865 . ISBN 978-0511254864 원본 문서 에서 보존된 문서. 2017년 9월 13일에 확인함 . ↑ Johnson, Clifford V. (2003). 《D-Branes》 (영어). Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511606540 . ISBN 9780521809122 ↑ Mizoguchi, Shun’ya; Schröder, Germar (2000년 2월 21일). “On discrete U-duality in M-theory”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 17 (4): 835–870. arXiv :hep-th/9909150 . Bibcode :2000CQGra..17..835M . doi :10.1088/0264-9381/17/4/308 . ISSN 0264-9381 . ↑ Malek, Emanuel (2012). “U-duality in three and four dimensions” (영어). arXiv :1205.6403 . Bibcode :2012arXiv1205.6403M . ↑ 가 나 Obers, N. A.; Pioline, B. (1999). “U-duality and M-theory” (영어) 318 : 113–225. arXiv :hep-th/9809039 . doi :10.1016/S0370-1573(99)00004-6 . ↑ Hull, Christopher Michael; Paul Kingsley Townsend (1995년 3월 27일). “Unity of superstring dualities”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 438 (1–2): 109–137. arXiv :hep-th/9410167 . Bibcode :1995NuPhB.438..109H .
