리 군론에서 5차원 회전군(五次元回轉群, 영어: five-dimensional rotation group)은 5차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(5) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 사원수의 2×2 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.

단순 리 대수의 분류에서, ${\displaystyle {\mathsf {B}}_{2}={\mathsf {C}}_{2}}$형을 생각하자. 이는 딘킨 도표

${\displaystyle \bullet \Rightarrow \bullet }$

에 대응한다. 이에 대응하는 리 군은 B₂(직교군)로, 또는 C₂(심플렉틱 군)로 해석될 수 있다.

이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )}$ 및 그 스핀 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (5)}$의 2겹 몫군이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준

${\displaystyle \operatorname {SO} (1,4)}$ (5차원 로런츠 군)

${\displaystyle \operatorname {SO} (2,3)}$

및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

마찬가지로, 이에 대응되는 심플렉틱 군은

${\displaystyle \operatorname {USp} (4;\mathbb {R} )=\operatorname {Sp} (2;\mathbb {H} )=\operatorname {Sp} (4;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (r)}$

이며, 마찬가지로 분할 형태

${\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )=\operatorname {Sp} (4;\mathbb {C} )\cap \operatorname {GL} (4;\mathbb {R} )}$

가 존재한다.

이들은 다음과 같이 대응한다.

킬링 형식의 부호수	기호	직교군 기호	심플렉틱 군 기호	군의 중심	기본군	사타케 도표	보건 도표	비고
(0,10)	B₂, C₂	Spin(5)	${\displaystyle \operatorname {USp} (4)=\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$	0	${\displaystyle \bullet \Rightarrow \bullet }$	${\displaystyle \circ \Rightarrow \circ }$	단일 연결 콤팩트 형태
		SO(5)	${\displaystyle \operatorname {PUSp} (4)=\operatorname {PU} (2;\mathbb {H} )}$	0	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$			무중심 콤팩트 형태
(6,4)	B₂Ⅰ, C₂Ⅰ	Spin(2,3)	${\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (\infty )}$	${\displaystyle \circ \Rightarrow \circ }$	${\displaystyle \bullet \Rightarrow \circ }$	분할 형태
		SO⁺(2,3)	${\displaystyle \operatorname {PSp} (4;\mathbb {R} )}$	0	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (\infty )}$			무중심 분할 형태
(4,6)	B₂Ⅱ, C₂Ⅱ	Spin(1,4)	${\displaystyle \operatorname {USp} (2,2)=\operatorname {U} (1,1;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$	0	${\displaystyle \circ \Rightarrow \bullet }$	${\displaystyle \circ \Rightarrow \bullet }$
		SO⁺(1,4)	${\displaystyle \operatorname {PUSp} (2,2)=\operatorname {PU} (1,1;\mathbb {H} )}$	0	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$

Spin(5)의 최소 스피너는 복소수 4차원 디랙 스피너이다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {USp} (4)}$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}$의 정의(定義) 표현이다.

콤팩트 형태에서, ${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)=\operatorname {USp} (4)=\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}$는 2×2 사원수 유니터리 행렬의 군이다. 즉,

${\displaystyle \{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M^{\dagger }M=1_{2\times 2}\}}$

이다. (여기서 ${\displaystyle (-)^{\dagger }}$는 에르미트 수반이다. 즉, 전치 행렬에서, 각 성분에 켤레 사원수를 취한 것이다.)

이것의 군의 중심은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} (2;\mathbb {H} ))=\left\{\pm 1_{2\times 2}\right\}}$

이것에 대한 몫을 취하면 다음과 같은 특수 직교군을 얻는다.

${\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )\cong {\frac {\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}{\{\pm 1\}}}}$

${\displaystyle \operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}$의 실수 5차원 표현은 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle V=\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M=M^{\dagger }\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\{\bar {b}}&a\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {H} \right\}}$

${\displaystyle M\cdot v=MvM^{\dagger }\qquad (M\in \operatorname {U} (2;\mathbb {H} ),\;v\in V)}$

Spin(2,3)은 (1,2)차원 민코프스키 공간의 등각군이다. ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2,3)}$의 최소 스피너는 실수 4차원 마요라나 스피너이다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}$의 4차원 실수 정의(定義) 표현에 해당한다.

이는 심플렉틱 군

${\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )=\{M\in \operatorname {GL} (4;\mathbb {R} )\colon M^{\top }JM=J\}}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0_{2\times 2}&-1_{2\times 2}\\1_{2\times 2}&0_{2\times 2}\end{pmatrix}}}$

에 대응한다. 이 경우, 마찬가지로 군의 중심은 ${\displaystyle \{\pm 1_{4\times 4}\}<\operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}$에 해당한다.

이 경우는 (1,4)차원 민코프스키 공간의 로런츠 군이자 3차원 유클리드 공간의 등각군이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 디랙 스피너이다.

심플렉틱 군으로서, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {U} (1,1;\mathbb {H} )=\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M^{\dagger }\Omega M=\Omega \}}$

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

이 경우, 실수 5차원 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle V=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-b&{\bar {a}}\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {H} ,\;b\in \mathbb {R} \right\}}$

${\displaystyle M\cdot v=Mv\Omega M\Omega ^{-1}\qquad (v\in V)}$

이 리 군의 낮은 차원 표현들 및 그 영 타블로는 다음과 같다.

표현	SO(5) 해석	SO(5) 영 타블로	USp(4) 해석	USp(4) 영 타블로
4	스피너	■	벡터	□
5	벡터	□	무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1)	□ □
10	반대칭 2-텐서 (5×4/2!)	□ □	대칭 2-텐서 (4×5/2!)	□□
14	무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1)	□□	4-텐서	□□ □□
16	라리타-슈윙거 장 (4×(5−1))	□■	3-텐서	□□ □

즉,

${\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} =\mathbf {5} \oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} }$

${\displaystyle \mathbf {5} \otimes \mathbf {5} =\mathbf {14} \oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} }$

${\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {5} =\mathbf {16} \oplus \mathbf {4} }$

이다.

• 직교행렬
• 직교군

• Holman, Wayne J. Ⅲ (1969). “Representation Theory of SP(4) and SO(5)”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 10: 1710. doi:10.1063/1.1665018. 

• Garrett, Paul (2015년 5월 7일). “Sporadic isogenies to orthogonal groups” (PDF) (영어). 
• “Isomorphism between Spin(3,2) and Sp(4, R)”. 《Math Overflow》 (영어).