퍼펙토이드(perfectoid)란 독일인 수학자 페터 숄체(Peter Scholze)가 도입한 개념이다.

${\displaystyle K}$가 표수 ${\displaystyle p}$의 완전 비아르키메데스적 체라고 하자. 그리고 다음을 정의하자. ${\displaystyle K^{\circ }:=\{x\in K|\nu (x)\leq 1\}}$ 그렇다면 ${\displaystyle K}$가 퍼펙토이드 체란 것은 ${\displaystyle K^{\circ }}$가 이산 국소환이 아니고 프로베니우스 사상이 ${\displaystyle K^{\circ }/p}$에서 전사인 것을 뜻한다.

${\displaystyle K}$가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 바나흐 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle R}$가 퍼펙토이드 ${\displaystyle K}$-대수란 것은 ${\displaystyle R}$의 원소들

${\displaystyle R^{\circ }:=\{x\in R|\{x^{n}|n\in \mathbb {N} \}{\text{ is bounded set }}\}}$

들이 열린 집합이고 유계인 데다가 적당한 위상수학적 멱영원 ${\displaystyle \pi \in R}$가 있어서${\displaystyle \Phi :R/\pi \longrightarrow R/\pi }$가 전사인 것이다.

이 정의에서 이산 국소환이 아니라는 조건은 안 좋은 것 같지만 정말로 중요한 역할을 하는데, 퍼펙토이드 체에서 거의 수학을 할 수 있게끔 만들어주기 때문이다. perfectoid field란 많이 대충 말해서 그 위에 분기 확장체가 거의 없는 체라고 보면 된다. 예를 들면 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(\zeta ^{\frac {1}{p^{\infty }}})}$의 완전화를 들 수 있는데, 이 체 위의 모든 확장은 그 켈러 미분들이 거의 수학으로 ${\displaystyle 0}$이 된다. (Tate)

다음을 생각하자.

${\displaystyle K^{\flat }:=\left(\lim _{\overset {\longleftarrow }{\Phi }}K^{\circ }/\pi \right)[(\pi ^{\flat })^{-1}]}$ 여기에서 ${\displaystyle \pi ^{\flat }\in \lim _{\overset {\longleftarrow }{\Phi }}K^{\circ }/\pi }$는 ${\displaystyle |\pi ^{\flat }|=|\pi |}$를 만족하는 어떤 한 원소다. 이는 ${\displaystyle |\pi _{1}|^{p}=|\pi |}$를 만족하도록 ${\displaystyle \pi _{1}}$를 잡고

${\displaystyle \pi ^{\flat }:=(0,\pi _{1},\cdots )\in \lim _{\overset {\longleftarrow }{\Phi }}K^{\circ }}$

로 선택하면 된다. 그렇다면 다음 곱셈적 준동형사상이 존재한다.

${\displaystyle K^{\flat }\longrightarrow \lim _{\overset {\longleftarrow }{x\mapsto x^{p}}}K}$

이는 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )\in K^{\flat }}$를 ${\displaystyle x^{\sharp }:=x_{n}^{p^{n}}}$로 정의하는 걸로 (이는 잘 정의된다.) 먼저

${\displaystyle K^{\flat }\longrightarrow K^{\circ }}$

를 정의할 수 있고, 이것으로 사상을 확장할 수 있다.

${\displaystyle K^{\flat }}$의 의미는 ${\displaystyle K}$의 표수를 ${\displaystyle 0}$에서 ${\displaystyle p}$로 바꾸었다는 것이다. 그리고 perfectoid field에서 표수 바꾸기는 정말로 잘 작동한다. ${\displaystyle K,K^{\flat }}$ 둘은 ${\displaystyle K/\pi }$에선 완전히 같다.

다음은 퍼펙토이드 체에 대한 가장 중요한 성질들 중 하나다.

Theorem. 두 perfectoid ${\displaystyle K}$-algebra ${\displaystyle R\to R'}$가 있을 때 이 둘 사이의 cotangent complex는 ${\displaystyle \mathbb {L} _{R'/R}\otimes _{\mathbb {Z} }^{L}\mathbb {F} _{p}=0}$이 된다.

이것의 증명은 cotangent complex의 base change theorem을 이용하는데, 이 과정에서 perfect ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$-algebra의 cotangent complex는 ${\displaystyle 0}$란 사실을 이용히게 된다.

이것하고 almost mathematics의 deformation theory를 이용해서 다음을 증명할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {Perf} (K^{\circ })^{a}\cong \mathrm {Perf} (K^{\circ }/\pi )^{a}}$

여기에서 ${\displaystyle \!^{a}}$표시는 almost sense를 말하는 것이고 ${\displaystyle \mathrm {Perf} }$는 그 위의 perfectoid algebra를 모아놨다는 것이다. 좀 더 정확하겐 이렇게 정의한다.

Definition. perfectoid ${\displaystyle K^{\circ a}}$-algera란 ${\displaystyle \pi }$-adically complete flat ${\displaystyle K^{\circ a}}$-algebra ${\displaystyle A}$에다가 Frobenius가 ${\displaystyle A/\pi ^{\frac {1}{p}}\cong A/\pi }$를 만드는 것이다.

Definition perfectoid ${\displaystyle K^{\circ a}/\pi }$-algebra란 flat ${\displaystyle K^{\circ a}/\pi }$-algebra ${\displaystyle {\overline {A}}}$에 Frobenius가 ${\displaystyle {\overline {A}}/\pi ^{\frac {1}{p}}\cong {\overline {A}}}$를 만드는 것을 말한다.

그렇다면 ${\displaystyle K^{\circ a}/\pi \cong K^{\flat \circ a}/\pi ^{\flat }}$를 생각하면 다음을 얻을 수 있다.

Theorem. perfectoid ${\displaystyle K}$-algebra들과 perfectoid ${\displaystyle K^{\flat }}$-algebra들의 category는 서로 동치가 된다.

여기에서 이 동치가 되게 만드는 functor는 ${\displaystyle R}$를 하나 잡으면

${\displaystyle R^{\flat }=\left(\lim _{\overset {\longleftarrow }{\Phi }}(R^{a}/\pi )^{\flat }\right)_{*}[(\pi ^{\flat })^{-1}]}$

으로 구성할 수 있다. 이는

${\displaystyle \mathrm {Perf} (K)\cong \mathrm {Perf} (K)^{a}\cong \mathrm {Perf} (K/\pi )^{a}\cong \mathrm {Perf} ((K/\pi )^{\flat })^{a}\cong \mathrm {Perf} (K^{\flat })^{a}\cong \mathrm {Perf} (K^{\flat })}$

를 따라서 구성한 것이다. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle R^{\flat }=\lim _{\overset {\longleftarrow }{x\mapsto x^{p}}}R}$

이렇게, ${\displaystyle R^{\flat }}$를 ${\displaystyle R}$의 tilt라고 한다.

다음이 성립한다.

${\displaystyle \mathrm {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} _{p}(\zeta _{p}^{\frac {1}{p^{\infty }}}}})/\mathbb {Q} _{p}(\zeta _{p}^{\frac {1}{p^{\infty }}}))\cong \mathrm {Gal} ({\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}/\mathbb {F} _{p}((t)))}$

이는 좀 더 분석해보자면 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(\zeta _{p}^{\frac {1}{p^{\infty }}}}$의 completion을 ${\displaystyle K}$라고 한다고 할 때 ${\displaystyle K^{\flat }}$는 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))}$의 completion이 되며, 저 갈루아 군의 동형사상을 구성하는 것은 다음을 증명하는 것이 된다.

${\displaystyle K_{\mathrm {fet} }\cong K_{\text{fet}}^{\flat }}$

그리고 이것 역시 tilt를 구성할 때 증명했던 것과 거의 같은 방법으로 구성한다. ${\displaystyle R}$을 perfectoid ${\displaystyle K}$-algebra라고 할 때

${\displaystyle R_{\text{fet}}\cong (R^{a})_{\text{fet}}\cong (R^{a}/\pi )_{\text{fet}}\cong ((R^{a})^{\flat }/\pi )_{\text{fet}}\cong ((R^{a})^{\flat })_{\text{fet}}\cong R_{\text{fet}}^{\flat }}$

를 생각한다. 여기에서 가장 중앙에 있는 것은 당연하고, 바로 주위에 있는 둘은 tilt 정의할 때 소개했던 cotangent complex를 쓰면 된다. 그러면 가장 문제는 가장 바깥쪽에 있는 둘인데, 이 둘도 equivalence다. 다만 이 둘의 증명은 어렵다.

가장 왼쪽에서 ${\displaystyle R}$가 field일 때만 증명하자면 다음을 증명하자.

Proposition. perfectoid field ${\displaystyle K^{\flat }}$이 algebraically closed라면 ${\displaystyle K}$는 algebralically closed다.

Proof monic irreducible polynomial ${\displaystyle P(X)=X^{d}+a_{d-1}X^{d-1}+\cdots +a_{0}}$을 하나 잡자. 그러면 이것이 zero가 있음을 증명해야 하는데 ${\displaystyle P}$의 Newton polygon은 line이고 이제 ${\displaystyle K^{\circ }/\pi }$에서 보자. ${\displaystyle Q(X)}$를 ${\displaystyle K^{\circ }/\pi }$에서 봤을 때 ${\displaystyle P}$하고 모든 계수가 같은 다항식이라고 하고 그 zero를 ${\displaystyle y_{1}}$라고 하자. 그러면 다항식 ${\displaystyle P(X+y^{\sharp })}$를 생각하고 이것의 상수항이 ${\displaystyle \pi }$에 의해서 나누어지므로, 그러니까 ${\displaystyle y_{1}^{\sharp }}$가 대충 ${\displaystyle P}$의 근사해가 되므로 ${\displaystyle |c_{1}|^{d}=|P(y_{1}^{\sharp })|\leq |\pi |}$인 ${\displaystyle c_{1}}$에 대해서 ${\displaystyle P_{1}(X)=c_{1}^{-d}P(c_{1}X+y_{1}^{\sharp })}$ 또한 Newton polygon이 line이고 irreducible이다. 이걸 반복하면

${\displaystyle y=y_{1}^{\sharp }+c_{1}y_{2}^{\sharp }+c_{1}c_{2}y_{3}^{\sharp }+\cdots }$

라고 정의하면 ${\displaystyle P(y)=0}$가 된다.

이 성질을 이용해서 젖히기의 반대인 untilt를 하는데, 그 젖히기의 반대를 ${\displaystyle K^{\sharp }}$라고 쓰자. 그러면 ${\displaystyle K^{\sharp }}$의 대수적 폐포의 completion을 ${\displaystyle M}$라고 한다면 ${\displaystyle M^{\sharp }}$는 위의 proposition으로 algebraically closed field에 적당한 norm을 주는 것으로 perfectoid ${\displaystyle K}$-algebra라고 할 수 있다. 따라서 모든 perfectoid ${\displaystyle K^{\sharp }}$-algebra ${\displaystyle L}$에 대해서 ${\displaystyle L^{\sharp }}$는 ${\displaystyle M^{\sharp }}$의 subfield가 되고, ${\displaystyle \bigcup L^{\sharp }}$는 ${\displaystyle M^{\sharp }}$에서 dense이므로 Krasner's lemma로 그 union을 ${\displaystyle N}$라고 하면 ${\displaystyle N}$도 algebraically closed field고 따라서 모든 finite extension ${\displaystyle F}$에 대해서 ${\displaystyle F}$는 적당한 ${\displaystyle K^{\flat }}$의 finite field extension ${\displaystyle L}$가 있어서 ${\displaystyle L^{\sharp }}$는 ${\displaystyle F}$를 포함하고, 체일 때의 증명이 끝난다.

먼저 아피노이드 대수(affinoid algebra)를 정의하자. ${\displaystyle k}$가 체일 때 ${\displaystyle R}$가 테이트 ${\displaystyle k}$-대수(Tate k-algebra)란 것은 어떤 부분환 ${\displaystyle R_{0}\subseteq R}$가 있어서 ${\displaystyle aR_{0}}$가 ${\displaystyle a\in k^{\times }}$들에 대해서 ${\displaystyle 0}$의 열린 근방들의 기저를 이룰 때를 말한다. 그리고 쌍 ${\displaystyle (R,R^{+})}$가 아피노이드 ${\displaystyle k}$-대수란 것은 그 자체의 환과 정폐정역 ${\displaystyle R^{+}\subseteq R}$의 쌍이다.

${\displaystyle K}$가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 아피노이드 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle (R,R^{+})}$가 퍼펙토이드 아피노이드 ${\displaystyle K}$-대수란 것은 ${\displaystyle R}$이 퍼펙토이드 ${\displaystyle K}$-대수인 것을 뜻한다.

퍼펙토이드 아피노이드 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle (R,R^{+})}$가 있을 때 다음을 정의할 수 있다.

${\displaystyle X=\mathrm {Spa} (R,R^{+}):=\{|\cdot |:R\to \Gamma \cup \{0\}{\text{ continuous valuation }}|{\text{ There exists }}f\in R^{+}{\text{ s.t. }}|f|\leq 1\}}$

그리고 여기에 위상을 하나 주는데, ${\displaystyle f_{1},f_{2},\cdots ,f_{n},g\in R}$를 주고, ${\displaystyle f_{1},\cdots ,f_{n}}$가 ${\displaystyle R}$를 생성한다고 할 때

${\displaystyle U\left({\frac {f_{1},\cdots ,f_{n}}{g}}\right):=\{x\in X|{\text{There exists }}i{\text{ s.t. }}|f_{i}(x)\leq |g(x)\}}$

를 기저로 하는 것으로 준다. 그리고 이런 꼴 열린 집합을 유리형 집합이라고 하자. 이는 환의 스펙트럼과 거기에 주는 ${\displaystyle D(f)}$라는 열린 집합들을 따라한 것이다.

${\displaystyle (R,R^{+})}$가 아피노이드 ${\displaystyle k}$-대수라고 하자. 그리고 여기에 ${\displaystyle \mathrm {Spa} (R,R^{+})}$의 열린 집합 ${\displaystyle U=U\left({\frac {f_{1},\cdots ,f_{n}}{g}}\right)}$를 주자. 그러면

${\displaystyle aR_{0}\left[{\frac {f_{1}}{g}},\cdots ,{\frac {f_{n}}{g}}\right]}$

꼴들을 ${\displaystyle 0}$의 기저로 가지는 다음 아피노이드 ${\displaystyle k}$-대수를 생각하자.

${\displaystyle U=\mathrm {Spa} \left(R\left[{\frac {f_{1}}{g}},\cdots ,{\frac {f_{n}}{g}}\right],B\right)}$

여기에서 ${\displaystyle B}$는 ${\displaystyle R\left[{\frac {f_{1}}{g}},\cdots ,{\frac {f_{n}}{g}}\right]}$ 안에서 ${\displaystyle R^{+}\left[{\frac {f_{1}}{g}},\cdots ,{\frac {f_{n}}{g}}\right]}$의 정수적 폐포다. 그러면 이것의 완전화를 ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{X}(U),{\mathcal {O}}_{X}^{+}(U))}$라고 하자. 이는 시프를 정의하기 위해서다. 그렇다면 일반적으로 열린 집합 ${\displaystyle W\subseteq X}$에 대해서

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(W)=\lim _{\overset {\longleftarrow }{U\subseteq W{\text{ rational }}}}{\mathcal {O}}_{X}(U)}$

라고 정의하자. 그렇다면 ${\displaystyle X}$ 위의 준시프 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {O}}_{X}^{+}}$를 정의할 수 있다.

다시 퍼펙토이드 아피노이드 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle (R,R^{+})}$로 돌아오면 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$가 시프라는 결과가 있다. (퍼펙토이드가 아니면 일반적으로 준시프만 되고 시프가 되지 않을 수도 있다.)

유한 에탈 덮개 ${\displaystyle S/R}$에 대해서 ${\displaystyle R}$가 퍼펙토이드 ${\displaystyle K}$-대수라면 ${\displaystyle S^{\circ a}}$는 ${\displaystyle R^{\circ a}}$위의 유한 에탈 대수가 된다. 특히 ${\displaystyle S^{\circ a}}$는 ${\displaystyle R^{\circ a}}$ 위의 균등 거의 유한표현 ${\displaystyle R^{\circ a}}$-모듈이 된다.

• 완전체

• Scholze, Peter (2011). “Perfectoid space”.