임의의 가측 함수 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$에 대하여,

${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to (Y\times Y,{\mathcal {B}}(Y)\times {\mathcal {B}}(Y))}$

${\displaystyle x\mapsto (f(x),g(x))}$

는 가측 함수이며,

${\displaystyle d\colon (Y\times Y,{\mathcal {B}}(Y\times Y))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$

역시 연속 함수이므로 가측 함수이다. 가정에 따라 ${\displaystyle Y}$가 분해 가능 거리 공간이므로, 제2 가산 공간이며, (거리 위상의 곱위상에 대한) 보렐 시그마 대수 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(Y\times Y)}$는 곱 시그마 대수 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(Y)\times {\mathcal {B}}(Y)}$와 일치한다. 따라서

${\displaystyle x\mapsto d(f(x),g(x))}$

는 가측 함수이다.

이제, ${\displaystyle f_{n}}$의 거의 어디서나 점별 극한이 되는 가측 함수 ${\displaystyle f}$를 취하자. 임의의 ${\displaystyle \epsilon >0}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 점별 수렴의 정의와 측도의 성질에 따라, 임의의 ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여,

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\mu \left(\bigcup _{m'=1}^{\infty }\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f_{i}(x),f(x))>{\frac {1}{m'}}\right\}\right)\\&\geq \mu \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f_{i}(x),f(x))>{\frac {1}{m}}\right\}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\mu \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f_{i}(x),f(x))>{\frac {1}{m}}\right\}\right)\end{aligned}}}$

이다. (함수 ${\displaystyle x\mapsto d(f_{i}(x),f(x))}$가 가측 함수이므로 위 집합들은 모두 가측 집합이다.) 따라서

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=n(m)}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f_{i}(x),f(x))>{\frac {1}{m}}\right\}\right)<{\frac {\epsilon }{2^{m}}}}$

인 ${\displaystyle n(m)\in \mathbb {N} }$이 존재한다.

이제

${\displaystyle X_{\epsilon }=\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcap _{i=n(m)}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f_{i}(x),f(x))\leq {\frac {1}{m}}\right\}\in {\mathcal {F}}}$

이라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \mu (X\setminus X_{\epsilon })<\epsilon }$

이며, 임의의 ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여,

${\displaystyle d(f_{i}(x),f(x))\leq {\frac {1}{m}}\qquad (\forall i\geq n(m),\;x\in X_{\epsilon })}$

이다. 즉, ${\displaystyle f_{i}}$는 ${\displaystyle X_{\epsilon }}$ 위에서 ${\displaystyle f}$로 균등 수렴한다.