집합론 에서 스콧 계략 (-計略, 영어 : Scott’s trick )은 집합에 대하여 정의된 개념을 모임 위로 확장하는 방법이다. 필요한 경우에, 모임이 집합이 되도록 크기를 줄이는 것을 골자로 한다. 정칙성 공리 를 사용하며, 선택 공리 는 필요로 하지 않는다.
체르멜로-프렝켈 집합론 을 가정하자. 모임
X
{\displaystyle X}
X
^ ^ -->
=
{
A
∈ ∈ -->
X
|
∀ ∀ -->
B
∈ ∈ -->
X
: : -->
rank
-->
A
≤ ≤ -->
rank
-->
B
}
⊆ ⊆ -->
X
{\displaystyle {\hat {X}}=\{A\in X|\forall B\in X\colon \operatorname {rank} A\leq \operatorname {rank} B\}\subseteq X}
가
X
{\displaystyle X}
폰 노이만 전체 에서의 계수가 최소인 것들의 모임이라고 하자.[ 1] :65
α α -->
{\displaystyle \alpha }
X
^ ^ -->
{\displaystyle {\hat {X}}}
V
α α -->
+
1
{\displaystyle V_{\alpha +1}}
X
^ ^ -->
{\displaystyle {\hat {X}}}
집합 이다.
X
^ ^ -->
=
∅ ∅ -->
{\displaystyle {\hat {X}}=\varnothing }
필요충분조건 은
X
=
∅ ∅ -->
{\displaystyle X=\varnothing }
스콧 계략 이라고 한다.
모임 위에 동치 관계 가 주어졌을 때, 동치류 는 고유 모임 일 수 있으므로, 동치류들의 모임을 정의할 수 없다. 그러나 동치류 들에 스콧 계략을 가하여 만든 집합들은 동치류들과 일대일 대응 하므로, 이 집합들로 구성된 모임을 동치류들의 모임으로 여길 수 있다.
특히, 선택 공리 없이도 기수 나 동형류 를 집합으로서 정의할 수 있다.
모임 위에 이항 관계 가 주어졌을 때, 공집합 이 아닌 모든 부분 집합 이 극소 원소 를 갖는다는 사실은 공집합 이 아닌 모든 부분 모임이 극소 원소 를 갖는다는 사실을 함의한다. 이에 대한 증명은 스콧 계략을 사용한다. 구체적으로, 이 증명은 모임
X
{\displaystyle X}
이항 관계
R
⊆ ⊆ -->
X
× × -->
X
{\displaystyle R\subseteq X\times X}
{
A
∈ ∈ -->
X
|
∃ ∃ -->
B
∈ ∈ -->
Y
: : -->
(
A
,
B
)
∈ ∈ -->
R
}
(
Y
⊆ ⊆ -->
X
)
{\displaystyle \{A\in X|\exists B\in Y\colon (A,B)\in R\}\qquad (Y\subseteq X)}
에 대하여 스콧 계략을 가한다.
데이나 스콧 이 1955년 7월 18일 브리티시컬럼비아 대학교 밴쿠버 캠퍼스에서 열린 제515회 미국 수학회 회의에서 소개하였다.[ 2] :442, 626t
