삼각행렬
선형대수학 에서 삼각행렬 (三角行列, 영어 : triangular matrix )은 정사각행렬 의 특수한 경우로, 주대각선 을 기준으로 대각항의 위쪽이나 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 경우를 의미한다.
주대각선 다음과 같은 모양을 가지는 행렬
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
하삼각행렬 (lower triangular matrix)로 정의한다.
L
=
[
l
1
,
1
0
l
2
,
1
l
2
,
2
l
3
,
1
l
3
,
2
⋱ ⋱ -->
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
⋱ ⋱ -->
⋱ ⋱ -->
l
n
,
1
l
n
,
2
… … -->
l
n
,
n
− − -->
1
l
n
,
n
]
{\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}l_{1,1}&&&&0\\l_{2,1}&l_{2,2}&&&\\l_{3,1}&l_{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\l_{n,1}&l_{n,2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{n,n}\end{bmatrix}}}
다음과 같은 모양을 가지는 행렬
U
{\displaystyle \mathbf {U} }
상삼각행렬 (upper triangular matrix)로 정의한다.
U
=
[
u
1
,
1
u
1
,
2
u
1
,
3
… … -->
u
1
,
n
u
2
,
2
u
2
,
3
… … -->
u
2
,
n
⋱ ⋱ -->
⋱ ⋱ -->
⋮ ⋮ -->
⋱ ⋱ -->
u
n
− − -->
1
,
n
0
u
n
,
n
]
{\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}}
만약 삼각행렬의 대각항이 모두 0인 경우는 순삼각행렬 (strict triangular), 혹은 삼각행렬의 모양에 따라 순하삼각행렬 , 순상삼각행렬 로 부른다.
상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 대각행렬 이다.
삼각행렬이면서 정규행렬 인 행렬은 대각행렬 이다.
상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬 에 대해 닫혀 있다. 즉, 상삼각행렬간의 덧셈, 곱셈, 역행렬 연산을 통해 나오는 행렬 은 상삼각행렬이다. 이 성질은 하삼각행렬에 대해서도 성립한다.
단, 순삼각행렬 등과 같이 행렬식이 0의 값을 가질 경우 역행렬이 존재하지 않으므로, 역행렬에 대해 닫혀있기 위해서는 삼각행렬이 가역행렬이어야 한다는 추가 조건이 있다.
삼각행렬의 행렬식 은 대각항들의 곱과 같다.
대각행렬 과 사다리꼴행렬 은 삼각행렬의 특수한 형태이다.
+
e
e
e
|
4
a
3
b
2
c
d
0
4
a
3
b
2
c
0
0
4
a
3
b
0
0
0
4
a
|
=
+
e
e
e
(
4
a
|
4
a
3
b
2
c
0
4
a
3
b
0
0
4
a
|
− − -->
3
b
|
0
3
b
2
c
0
4
a
3
b
0
0
4
a
|
+
2
c
|
0
4
a
2
c
0
0
3
b
0
0
4
a
|
− − -->
d
|
0
4
a
3
b
0
0
4
a
0
0
0
|
)
{\displaystyle +eee{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b&2c&d\\0&{\color {red}{4a}}&3b&2c\\0&0&{\color {red}{4a}}&3b\\0&0&0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}=+eee\left({\color {red}{4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b&2c\\0&{\color {red}{4a}}&3b\\0&0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}-3b{\begin{vmatrix}0&3b&2c\\0&4a&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&4a&2c\\0&0&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}-d{\begin{vmatrix}0&4a&3b\\0&0&4a\\0&0&0\\\end{vmatrix}}\right)}
+
e
e
e
4
a
|
4
a
3
b
2
c
0
4
a
3
b
0
0
4
a
|
=
+
e
e
e
4
a
(
4
a
|
4
a
3
b
0
4
a
|
− − -->
3
b
|
0
3
b
0
4
a
|
+
2
c
|
0
4
a
0
0
|
)
{\displaystyle +eee{\color {red}{4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b&2c\\0&{\color {red}{4a}}&3b\\0&0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}=+eee{\color {red}{4a}}\left({\color {red}{4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b\\0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}-3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)}
− − -->
e
e
e
3
b
|
0
3
b
2
c
0
4
a
3
b
0
0
4
a
|
=
− − -->
e
e
e
3
b
(
0
|
4
a
3
b
0
4
a
|
− − -->
3
b
|
0
3
b
0
4
a
|
+
2
c
|
0
4
a
0
0
|
)
{\displaystyle -eee3b{\begin{vmatrix}0&3b&2c\\0&4a&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}=-eee3b\left({\cancel {0{\begin{vmatrix}4a&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}}}-3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)}
+
e
e
e
2
c
|
0
4
a
2
c
0
0
3
b
0
0
4
a
|
=
+
e
e
e
2
c
(
0
|
0
3
b
0
4
a
|
− − -->
4
a
|
0
3
b
0
4
a
|
+
2
c
|
0
0
0
0
|
)
{\displaystyle +eee2c{\begin{vmatrix}0&4a&2c\\0&0&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}=+eee2c\left({\cancel {0{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}}}-4a{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)}
− − -->
e
e
e
d
|
0
4
a
3
b
0
0
4
a
0
0
0
|
=
− − -->
e
e
e
d
(
0
|
0
4
a
0
0
|
− − -->
4
a
|
0
4
a
0
0
|
+
3
b
|
0
0
0
0
|
)
{\displaystyle -eeed{\begin{vmatrix}0&4a&3b\\0&0&4a\\0&0&0\\\end{vmatrix}}=-eeed\left({\cancel {0{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}}}-4a{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}+3b{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)}
+
e
e
e
4
a
4
a
|
4
a
3
b
0
4
a
|
=
+
e
e
e
4
a
4
a
(
4
a
4
a
− − -->
3
b
0
)
=
+
4
4
a
4
e
3
=
+
256
a
4
e
3
{\displaystyle +eee{\color {red}{4a4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b\\0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}=+eee{\color {red}{4a4a}}({\color {red}{4a4a}}-{\cancel {3b0}})=+{\color {red}{4^{4}a^{4}}}e^{3}=+{\color {red}{256a^{4}}}e^{3}}
− − -->
e
e
e
4
a
3
b
|
0
3
b
0
4
a
|
=
− − -->
e
e
e
4
a
3
b
(
04
a
− − -->
3
b
0
)
=
0
{\displaystyle -eee4a3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}=-eee4a3b(04a-3b0)=0}
+
e
e
e
4
a
2
c
|
0
4
a
0
0
|
=
+
e
e
e
4
a
2
c
(
00
− − -->
4
a
0
)
=
0
{\displaystyle +eee4a2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}=+eee4a2c(00-4a0)=0}
+
e
e
e
3
b
3
b
|
0
3
b
0
4
a
|
=
+
e
e
e
3
b
3
b
(
04
a
− − -->
3
b
0
)
=
0
{\displaystyle +eee3b3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}=+eee3b3b(04a-3b0)=0}
− − -->
e
e
e
3
b
2
c
|
0
4
a
0
0
|
=
− − -->
e
e
e
3
b
2
c
(
00
− − -->
4
a
0
)
=
0
{\displaystyle -eee3b2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}=-eee3b2c(00-4a0)=0}
− − -->
e
e
e
2
c
4
a
|
0
3
b
0
4
a
|
=
− − -->
e
e
e
2
c
4
a
(
04
a
− − -->
3
b
0
)
=
0
{\displaystyle -eee2c4a{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}=-eee2c4a(04a-3b0)=0}
+
e
e
e
2
c
2
c
|
0
0
0
0
|
=
+
e
e
e
2
c
2
c
(
00
− − -->
00
)
=
0
{\displaystyle +eee2c2c{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}=+eee2c2c(00-00)=0}
+
e
e
e
d
4
a
|
0
4
a
0
0
|
=
+
e
e
e
d
4
a
(
00
− − -->
4
a
0
)
=
0
{\displaystyle +eeed4a{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}=+eeed4a(00-4a0)=0}
− − -->
e
e
e
d
3
b
|
0
0
0
0
|
=
− − -->
e
e
e
d
3
b
(
00
− − -->
00
)
=
0
{\displaystyle -eeed3b{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}=-eeed3b(00-00)=0}
a
a
a
|
d
0
0
0
2
c
d
0
0
3
b
2
c
d
0
4
a
3
b
2
c
d
|
=
a
a
a
(
d
|
d
0
0
2
c
d
0
3
b
2
c
d
|
− − -->
0
|
2
c
0
0
3
b
d
0
4
a
2
c
d
|
+
0
|
2
c
d
0
3
b
2
c
0
4
a
3
b
d
|
− − -->
0
|
2
c
d
0
3
b
2
c
d
4
a
3
b
2
c
|
)
{\displaystyle aaa{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0&0&0\\2c&{\color {red}{d}}&0&0\\3b&2c&{\color {red}{d}}&0\\4a&3b&2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}=aaa\left({\color {red}{d}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0&0\\2c&{\color {red}{d}}&0\\3b&2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}-{\cancel {0{\begin{vmatrix}2c&0&0\\3b&d&0\\4a&2c&d\\\end{vmatrix}}+0{\begin{vmatrix}2c&d&0\\3b&2c&0\\4a&3b&d\\\end{vmatrix}}-0{\begin{vmatrix}2c&d&0\\3b&2c&d\\4a&3b&2c\\\end{vmatrix}}}}\right)}
a
a
a
d
|
d
0
0
2
c
d
0
3
b
2
c
d
|
=
a
a
a
d
(
d
|
d
0
2
c
d
|
− − -->
0
|
2
c
0
3
b
d
|
+
0
|
2
c
d
3
b
2
c
|
)
{\displaystyle aaa{\color {red}{d}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0&0\\2c&{\color {red}{d}}&0\\3b&2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}=aaa{\color {red}{d}}\left({\color {red}{d}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0\\2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}{\cancel {-0{\begin{vmatrix}2c&0\\3b&d\\\end{vmatrix}}+0{\begin{vmatrix}2c&d\\3b&2c\\\end{vmatrix}}}}\right)}
a
a
a
d
d
|
d
0
2
c
d
|
=
a
a
a
d
d
(
d
d
− − -->
02
c
)
=
a
3
d
4
{\displaystyle aaa{\color {red}{dd}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0\\2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}=aaa{\color {red}{dd}}({\color {red}{dd}}-{\cancel {02c}})=a^{3}{\color {red}{d^{4}}}}
삼각행렬
A
{\displaystyle A}
x
I
− − -->
A
{\displaystyle xI-A}
고유행렬식
d
e
t
(
x
I
− − -->
A
)
{\displaystyle det(xI-A)}
A
{\displaystyle A}
고윳값 은 각 대각항이 된다.
[
1
0
0
0
◼ ◼ -->
1
0
0
◼ ◼ -->
◼ ◼ -->
1
0
◼ ◼ -->
◼ ◼ -->
◼ ◼ -->
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\\blacksquare &1&0&0\\\blacksquare &\blacksquare &1&0\\\blacksquare &\blacksquare &\blacksquare &1\\\end{bmatrix}}}
행렬 방정식
L
x
=
b
{\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} =\mathbf {b} }
U
x
=
b
{\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {x} =\mathbf {b} }
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
x
n
− − -->
1
{\displaystyle x_{n-1}}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
행렬을 뒤집는것은 아니다.
행렬 방정식 L x = b는 선형 방정식의 시스템(연립 )으로 쓸 수 있다
ℓ ℓ -->
1
,
1
x
1
=
b
1
ℓ ℓ -->
2
,
1
x
1
+
ℓ ℓ -->
2
,
2
x
2
=
b
2
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
⋱ ⋱ -->
⋮ ⋮ -->
ℓ ℓ -->
(
m
− − -->
1
)
,
1
x
1
+
ℓ ℓ -->
(
m
− − -->
1
)
,
2
x
2
+
⋯ ⋯ -->
+
ℓ ℓ -->
(
m
− − -->
1
)
,
(
m
− − -->
1
)
x
(
m
− − -->
1
)
=
b
(
m
− − -->
1
)
ℓ ℓ -->
m
,
1
x
1
+
ℓ ℓ -->
m
,
2
x
2
+
⋯ ⋯ -->
+
ℓ ℓ -->
m
,
m
x
m
=
b
m
{\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &\ddots &&&\vdots \\\ell _{(m-1),1}x_{1}&+&\ell _{(m-1),2}x_{2}&+\dotsb +&\ell _{(m-1),(m-1)}x_{(m-1)}&=&b_{(m-1)}\\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+\dotsb +&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}
여기서
x
1
{\displaystyle x_{1}}
ℓ ℓ -->
1
,
1
x
1
=
b
1
{\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
x
m
{\displaystyle x_{m}}
x
m
− − -->
1
{\displaystyle x_{m-1}}
m
{\displaystyle m}
x
m
{\displaystyle x_{m}}
이러한
x
1
,
x
2
,
… … -->
,
x
m
− − -->
1
,
x
m
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m-1},x_{m}}
x
1
ℓ ℓ -->
1
,
1
=
b
1
{\displaystyle x_{1}{\ell _{1,1}}={b_{1}}}
x
1
=
b
1
ℓ ℓ -->
1
,
1
{\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}}}
x
2
ℓ ℓ -->
2
,
2
+
ℓ ℓ -->
2
,
1
x
1
=
b
2
{\displaystyle x_{2}{\ell _{2,2}}+\ell _{2,1}x_{1}=b_{2}}
x
2
=
b
2
− − -->
ℓ ℓ -->
2
,
1
x
1
ℓ ℓ -->
2
,
2
{\displaystyle x_{2}={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}}}
x
3
ℓ ℓ -->
3
,
3
+
x
2
ℓ ℓ -->
2
,
2
+
ℓ ℓ -->
2
,
1
x
1
=
b
3
{\displaystyle x_{3}{\ell _{3,3}}+x_{2}{\ell _{2,2}}+\ell _{2,1}x_{1}=b_{3}}
x
3
=
b
3
− − -->
x
2
ℓ ℓ -->
2
,
2
− − -->
ℓ ℓ -->
2
,
1
x
1
ℓ ℓ -->
3
,
3
{\displaystyle x_{3}={{b_{3}-x_{2}{\ell _{2,2}}-\ell _{2,1}x_{1}} \over {\ell _{3,3}}}}
정리하면,
x
1
=
b
1
ℓ ℓ -->
1
,
1
{\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}}}
x
2
=
b
2
− − -->
ℓ ℓ -->
2
,
1
x
1
ℓ ℓ -->
2
,
2
{\displaystyle x_{2}={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}}}
x
3
=
b
3
− − -->
x
2
ℓ ℓ -->
2
,
2
− − -->
ℓ ℓ -->
2
,
1
x
1
ℓ ℓ -->
3
,
3
{\displaystyle x_{3}={{b_{3}-x_{2}{\ell _{2,2}}-\ell _{2,1}x_{1}} \over {\ell _{3,3}}}}
계속해서 ,
⋮ ⋮ -->
{\displaystyle \vdots }
일반화하면
x
m
=
b
m
− − -->
(
∑ ∑ -->
i
=
1
m
− − -->
1
ℓ ℓ -->
m
,
i
x
i
)
ℓ ℓ -->
m
,
m
{\displaystyle x_{m}={{b_{m}-\left(\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}\right)} \over {\ell _{m,m}}}}
상삼각행렬 U를 갖는 행렬 방정식은 역방향에서 같은 방식으로 적용하여 접근할 수 있다.
