마르코프 행렬(또는 마르코프 매트릭스, Markov matrix)은 안드레이 마르코프에 의해 알려진 이 행렬은 확률론적 방법으로 전개되므로 확률 행렬(Stochastic matrix)로도 잘 알려져 있다. 마르코프 연쇄에서 확률 과정으로 표현된다.

마르코프 행렬은 1906년에 처음으로 이를 발표한 러시아 수학자이자 교수인 안드레이 마르코프에 의해 마르코프 연쇄와 함께 개발되었다.^[1][2] 그의 초기 의도된 사용은 언어학적 분석과 다른 수학 과목에 사용이었다. 카드 섞기와 비슷하지만 마르코프 체인과 매트릭스는 다른 분야에서 빠르게 이용되었다.^[1][2][3]

이후 확률 행렬로 알려진 마르코프 행렬은 안드레이 콜모고로프와 같은 학자에 의해 더 발전되었으며, 안드레이 콜모고로프는 연속 마르코프 확률 과정을 허용함으로써 가능성을 넓혔다.^[4] 1950년대에는 이러한 확률론적인 행렬인 확률 행렬(stochastic matrices)이 본래의 수학적 영역 밖에서 사용되기 시작했고, 계량 경제학^[5], 회로 이론^[6] 등의 분야에서 응용 영역이 출현했다. 1960년대에 확률 행렬의 응용은 행동 과학에서 지질학^[7][8], 주거 계획에 이르기까지 훨씬 더 다양한 과학 연구에까지 나타났다. 또한, 확률 행렬과 마르코프 확률 과정의 사용 범위와 기능성을보다 일반적으로 개선하기 위해 많은 수학적 연구가 수십 년 동안 수행되었다.

1970년대부터 현재까지, 확률 행렬은 구조 과학^[9]에서부터 의료 진단^[10], 인사 관리^[11]에 이르기까지 공식적인 분석이 필요한 거의 모든 분야에서 사용되어왔다. 또한, 이러한 확률 행렬은 마르코프 행렬이라는 용어로 토지 변화 모델링에서 아직까지 사용되기도 한다.^[12]

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0.9&0.075&0.025\\0.15&0.8&0.05\\0.25&0.25&0.5\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n+3)}&=x^{(n+2)}P=\left(x^{(n+1)}P\right)P\\\\&=x^{(n+1)}P^{2}=\left(x^{(n)}P\right)P^{2}\\&=x^{(n)}P^{3}\\\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n+3)}&={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.9&0.075&0.025\\0.15&0.8&0.05\\0.25&0.25&0.5\end{bmatrix}}^{3}\\&={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.7745&0.17875&0.04675\\0.3575&0.56825&0.07425\\0.4675&0.37125&0.16125\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0.3575&0.56825&0.07425\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0.9&0.075&0.025\\0.15&0.8&0.05\\0.25&0.25&0.5\end{bmatrix}}}$에서

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\,P^{N}={\begin{bmatrix}0.625&0.3125&0.0625\\0.625&0.3125&0.0625\\0.625&0.3125&0.0625\\\end{bmatrix}}}$

• 이중확률 행렬(Doubly stochastic matrix)
• 싱크혼 일반형식(Sinkhorn normal form)
• 유니터리 행렬
• 가우스-마르코프 정리(Gauss–Markov theorem)
• 싱크혼 정리(Sinkhorn's theorem)
• 랜덤 행렬

• 코넬 대학교도서관 - Sinkhorn normal form for unitary matrices,Martin Idel, Michael M. Wolf (Submitted on 25 Aug 2014 (v1), last revised 4 Sep 2015 (this version, v3))
• 옥스퍼드 대학교 - InformationEngineering
• Markov Chains and Stochastic Stability , S.P. Meyn & R.L.Tweedie , Springer-Verlag 1993 this version compiled Sep.2005
• webarchive - Markov matrix