1차 다항식의 기약성

어떤 실수 계수 1차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면 이 다항식은 두 1차 이상의 다항식의 곱으로 분해되므로, 2차 이상이게 되며, 이는 모순이다.

판별식이 0보다 작은 2차 다항식의 기약성

어떤 판별식이 0보다 작은 2차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 하자. 그렇다면 이 다항식은 두 실수 계수 1차 다항식으로 분해되므로, 실수 영점을 가지며, 판별식은 0보다 작지 않게 되며, 이는 모순이다.

판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식의 비기약성

판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식은 실수 영점을 가지며, 두 1차 다항식의 곱으로 분해되므로, 기약 다항식이 아니다.

3차 이상의 다항식의 비기약성

${\displaystyle p(x)\in \mathbb {R} [x]}$가 3차 이상의 다항식이라고 하자. 그렇다면, 대수학의 기본 정리에 따라 복소수 영점 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$가 존재한다. 만약 ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$라면, ${\displaystyle \mathbb {R} [x]\ni x-z\mid p(x)}$이므로 ${\displaystyle p(x)}$는 기약 다항식이 아니다. 만약 ${\displaystyle z\not \in \mathbb {R} }$이라면, 그 켤레 복소수 ${\displaystyle {\bar {z}}}$ 역시 영점인데, 이는 ${\displaystyle p({\bar {z}})={\bar {p}}({\bar {z}})={\overline {p(z)}}={\bar {0}}=0}$이기 때문이다. 따라서, ${\displaystyle \mathbb {R} [x]\ni (x-z)(x-{\bar {z}})\mid p(x)}$이므로, ${\displaystyle p(x)}$는 기약 다항식이 아니다.

두 원시다항식 ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},}$ ${\displaystyle g(x)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}x^{j}}$의 곱

${\displaystyle f(x)g(x)=\sum _{k=0}^{m+n}c_{k}x^{k},\quad c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}}$

이 원시다항식이 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 소수 ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle c_{k}}$의 공약수로 존재한다.

${\displaystyle s=\min\{i:p\nmid a_{i}\},\quad t=\min\{j:p\nmid b_{j}\}}$

라고 하면, ${\displaystyle p\nmid a_{s},}$ ${\displaystyle p\nmid b_{t}}$이고, 임의의 ${\displaystyle i<s,}$ ${\displaystyle j<t}$에 대해 각각 ${\displaystyle p\mid a_{i},}$ ${\displaystyle p\mid b_{j}}$이다. ${\displaystyle c_{s+t}}$의 전개에서, ${\displaystyle a_{s}b_{t}}$ 외의 남은 항 ${\displaystyle a_{i}b_{j}}$는 ${\displaystyle i<s}$ 또는 ${\displaystyle j<t}$를 만족하므로(그렇지 않으면 ${\displaystyle i+j>s+t}$이어서 모순이다), 모두 ${\displaystyle p\mid a_{i}b_{j}}$이다. ${\displaystyle p\mid c_{s+t}}$도 성립함에 따라 ${\displaystyle p\mid a_{s}b_{t}}$이다. 따라서 ${\displaystyle p\mid a_{s}}$ 또는 ${\displaystyle p\mid b_{t}}$이며, 이는 모순이다. 그러므로 가정은 참이 아니며, ${\displaystyle f(x)g(x)}$는 원시다항식이다.