통계학 시리즈의 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템 비결정론 무작위성
확률공간 표본공간 사건 전체 포괄 사건 근원사건 상호 배타성 결과 한원소 시행 베르누이 시행 확률분포 베르누이 분포 이항분포 정규분포 확률 측도 확률변수 베르누이 과정 연속/이산 기댓값 마르코프 연쇄 관측값 무작위 행보 확률과정
여사건 결합 확률 주변 확률 조건부 확률
독립 조건부 독립 전체 확률의 법칙 큰 수의 법칙 베이즈 정리 불의 부등식
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확률론에서 결합 분포란 확률 변수가 여러 개일 때 이들을 함께 고려하는 확률 분포이다. 결합 분포는 확률 분포의 일종이므로 결합 확률 분포라고도 한다.

이산 확률 변수 X, Y에 대한 결합 확률 질량 함수는 Pr(X = x & Y = y)로 쓸 수 있다. 그러면 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y)\;}$

이것들은 확률이기 때문에 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1\;}$

연속 확률 변수에 대한 결합 확률 밀도 함수는 f_X,Y(x, y)로 쓸 수 있고, 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)=f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\;}$

여기서 f_Y|X(y|x)와f_X|Y(x|y)는 각각 X = x가 주어질 때의 Y와, Y = y가 주어질 때의 X에 대한 조건 분포이다. 그리고 f_X(x)와 f_Y(y)는 각각 X와 Y의 주변 분포이다.

역시 이것들은 확률이기 때문에 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}$

모든 x, y에 대해서 이산 확률 변수인 경우에는 ${\displaystyle \ P(X=x\ {\mbox{and}}\ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}$, 연속 확률 변수인 경우에는 ${\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}$가 성립하면, X와 Y는 독립이라고 한다.

두 확률 변수에 대한 결합 분포는 여러 확률 변수 X₁, ..., X_n에 대한 분포로 확장할 수 있다. 다음 관계에 따라서 변수를 순서대로 더하면 된다.

${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}$

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