დირაკის დელტა ფუნქცია, ან δ ფუნქცია, წარმოადგენს განზოგადებულ ფუნქციას დამოკიდებულს რეალურ ცვლადზე, ისე, რომ ფუნქციის მნიშვნელობა ტოლია ნულის ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის გარდა იმ შემთხვევისა,როდესაც პარამეტრის მნიშვნელობა ნულის ტოლია, ხოლო ამ ფუნქციის ინტეგრალი −∞ დან ∞ -მდე 1-ის ტოლია. ეს ფუნქცია შგანსაზღვრული იქნა ფიზიკოს-თეორეტიკოსის პოლ დირაკის მიერ. დირაკის დელტა ფუნქცია წარმოადგენს კრონეკერის სიმბოლოს უწყვეტ ანალოგს.

დირაკის დელტა ფუნქცია შეიძლება წარმოვიდგინოთ როგორც ფუნქცია, რომლის მნიშვნელობა ნულის ტოლია ყველა წერტილში გარდა ნულისა, სადაც მისი მნიშვნელობა უსასრულოა:

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$

ასევე, განმარტების თანახმად იგი აკმაყოფილებს პირობას.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}$^[1]

ეს განმარტება გარკვეულწილად ევრისტიკულია. დირაკის დელტა ფუნქცია არ წარმოადგენს რეალურ ფუნქციას. მისი მკაცრი გამნარტება შესაძლებელია განაწილების ან ზომის ცნების გამოყენებით.

დირაკის დელტა ფუნქცია აკმაყოფილებს შემდეგ მასშტაბურ ინვარიანტობის თვისებას ნებისმიერი არანულოვანი α სკალარისთვის:^[2]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$.

გარდა ამისა, დირეკის დელტა ფუნქცია არის ლუწი ფუნქცია, ასე რომ

${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$.

სხვანაირად, დირაკის ფუქცია არის ერთგავროვანი ფუნქცია −1-ის ტოლი ერთგვაროვნების ინდექსით.

განაწილება, რომელიც მიიღება δ-ფუნქციის x-ზე ნამრავლით ნულის იგივურად ტოლია:

${\displaystyle x\delta (x)=0.}$

საპირისპიროდ, თუ xf(x) = xg(x), სადაც f და g განაწილებებია, მაშინ

${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$

სადაც c დაიმე მუდმივია.

დროში წანაცვლებული დელტა ფუნქციის ინტეგრალი მოიცემა როგორც:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-T)\,dt=f(T)}$.

კრონეკერის სიმბოლო delta ${\displaystyle \delta _{ij}}$ არის სიდიდე, რომელიც განისაზღვრება როგორც

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}}$

i და j ნატურალური მნიშვნელობებისთვის. ეს ფუნქცია აკმაყოფილებს წანაცვლების თვისების მსგავს თვისებას: თუ ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {Z} }}$ არის ნებისმიეირ უსასტულო მიმდევრობა, მაშინ

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.}$

ანალოგიურად, ნებისმიეირი უწყვეტი ფუნქციისთვის ${\displaystyle f}$ განსაზღვრულს რაიმე არეში ${\displaystyle \mathbb {R} }$, დირალის დელტა ფუნცია აკმაყოფილებს წანაცვლების თვისებას

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}$

• კრონეკერის სიმბოლო
• ლევი-ჩივიტას სიმბოლო
• გრინის ფუნქცია