調和微分形式

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調和微分形式（ちょうわびぶんけいしき）とは、数学において曲面上の実 1-形式 $ω$ として、 $ω$ とその共役 1-形式 $ω *$ 両方が閉形式のことをいう。

解説

2-次元実解析多様体の上で定義された実 1-形式の場合を考える。さらに複素微分形式の実部となる実 1-形式を考える。 ω = A dx + B dy とし、形式的に共役 1-形式を ω* = A dy − B dx と定義する。

動機

調和微分形式は明らかに複素解析に関係している．複素数 z を実部と虚部に分けて、それぞれを x と y とし、 z = x + iy とする．複素解析の観点から、 ω + iω* = (A − iB)(dx + i dy) となり、従って dz がゼロに近付くとき商 (ω + iω*)/dz は極限を取る。言い換えると、ω* は、微分（解析性）の概念に関連している。もうひとつの概念である虚数単位は、 (ω*)* = −ω である（まさに i² = −1 と同じである）。

与えられた函数 f に対し、 $ω = df$ とする。つまり

\omega ={\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial x}}{\biggr )}dx+{\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial y}}{\biggr )}dy

ここに ∂ は偏微分を表す。すると、

(df)^{*}={\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial x}}{\biggr )}dy-{\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial y}}{\biggr )}dx

となる。ここで注意することは $d(df)^{*}$ はいつもゼロとは限らないことで、実際、

d(df)^{*}=\Delta f\ dx\ dy

であり、ここに

\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}

が示される。

コーシー・リーマンの方程式

上で見たように、ω と ω* がともに閉形式のときに、1-形式 ω を 調和的 という。このことは ∂A/∂y = ∂B/∂x (ω が閉形式のとき) でかつ $\partial B /\partial y = -\partial A /\partial x$ (ω* が閉形式のとき) であることを意味する。これらは、A − iB のコーシー・リーマンの方程式という。普通、これらは、u(x, y) + iv(x, y) の項で表すと、

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\ \ \ \ {\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}

となる。

結果

調和微分 (1-形式) は正確に（解析的）複素微分形式の実部に一致する^[1]。これを証明するためには、 $u + iv$ が、 $x + iy$ で局所的に解析函数であるときに、コーシー・リーマンの方程式を満たすことを示せばよい。もちろん、解析函数 $w (z) = u + iv$ は、何らか（すなわち $\int w (z) dz$ ）の局所での微分である。
調和微分形式 $ω$ は（局所的に）正確にラプラス方程式 $Δ f = 0$ の解 f の微分 df である^[1]。
$ω$ が調和微分形式であれば、 $ω *$ もまた調和微分形式である^[1]。

参考文献

^ ^a ^b ^c Cohn, Harvey (1967), Conformal Mapping on Riemann Surfaces, McGraw-Hill Book Company

森田茂之『微分形式の幾何学１』岩波書店、1996年 ISBN 4-00-010633-3
森田茂之『微分形式の幾何学２』岩波書店、1997年 ISBN 4-00-010639-2

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