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ネイピア数の無理性の証明（ねいぴあすうのむりせいのしょうめい）は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数 $e$ は $2 < e < 3$ を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、 $e$ が有理数であると仮定して矛盾を導く。 $e$ が無理数であることの証明は、円周率 $π$ が無理数であることの証明よりずっと易しい。 $π$ の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。

$e$ を底とする指数関数 $e x$ は以下のようにテイラー展開される。

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

$x = 1$ を代入すると

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots

以下、これを $e$ の定義として無理数であることを証明する。

証明

$e = a / b$ を満たす自然数 $a, b$ が存在すると仮定すると $b! \cdot e$ は以下のように展開される。

{\begin{aligned}b!\cdot e&=\left(b!+{\frac {b!}{1!}}+{\frac {b!}{2!}}+{\frac {b!}{3!}}+\cdots +{\frac {b!}{b!}}\right)\\&\qquad +\left\{{\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \right\}.\end{aligned}}

左辺は $b!\cdot e=b!\cdot {\frac {a}{b}}=a(b-1)!$ であるから自然数である。右辺は (　) 内の $b!$ から $b!/ b!$ までの項は全て自然数であるが、{　} 内の $b!/(b + 1)!$ 以降の全ての項の和は、 $b$ が $1$ 以上であることから

{\begin{aligned}&\quad \left\{{\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \right\}\\&={\frac {1}{(b+1)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots \\&<{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots =1\end{aligned}}

と 1 未満になる。したがって (　) 内と {　} 内を足した右辺は自然数でないことになり、左辺が自然数という結果と矛盾する。

ゆえに $e = a / b$ を満たす自然数 $a, b$ が存在するという仮定は誤りである。

ネイピア数の冪乗の無理性

一般に、 $q$ を $0$ でない有理数とすると、 $e q$ は無理数である。これは、リンデマンの定理のごく特別な場合であるが、それ自体の証明は比較的易しく、『天書の証明』で1ページ程度にまとめられている^[1]。

脚注

^ M. Aigner and G. M. Ziegler, "Proofs from the Book", 3rd edition, Springer, 2003. ISBN 3540404600（日本語訳、蟹江幸博『天書の証明』シュプリンガー・フェアラーク東京、2002年 ISBN 443170986X）

参考文献

塩川宇賢『無理数と超越数』森北出版、1999年3月30日。ISBN 4-627-06091-2。
1〜2頁および60〜61頁にネイピア数の無理性の証明が掲載されている。
ジャン=ポール・ドゥラエ『 $π$ ――魅惑の数』畑政義訳、朝倉書店、2001年10月20日。ISBN 4-254-11086-3。
130頁にネイピア数の無理性の証明が掲載されている。