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カスプ形式(cusp form)、もしくは尖点形式とは、モジュラー形式のうちカスプでのフーリエ級数展開の定数項が 0 であるものをいう。

概要

カスプ形式はフーリエ級数展開（q-展開（英語版）(q-expansion)を参照）

\Sigma a_{n}q^{n}

の定数係数 a₀ が 0 である。このフーリエ展開は、変換

z\mapsto z+1

の上半平面のモジュラー群の作用の結果として現れる。

他の群の場合には、複数のカスプを持つ場合があり、それに応じて複数のフーリエ展開を持つこととなる。どのカスプにおいても、q → 0 としたときの極限は上半平面の z の虚部を → ∞ としたときの極限である。商をとるとこの極限はモジュラー曲線のカスプ（英語版）(cusp)に対応している。カスプ形式の定義は全てのカスプでゼロとなるようなモジュラー形式となる。

次元

カスプ形式の空間の次元は、リーマン・ロッホの定理を通して、原理的には計算できる。例えば、重さ 12 のカスプ形式の空間の次元は 1 であることが計算できる。このことから、有名なラマヌジャン函数 τ(n) を、a₁ = 1 であるようなモジュラー群の重さ 12 のカスプ形式のフーリエ係数として定義する事が意味を持つ。さらにヘッケ作用素が定数倍であることもわかる（ラマヌジャンの等式のモーデルによる証明）。重さ 12 のカスプ形式はモジュラ判別式（すなわち楕円曲線のヴァイエルシュトラスの方程式の右辺の 3 乗の判別式）

Δ(z, q),

およびデデキントのエータ函数の 24 乗と定数倍を除いて等しい。フーリエ係数は、

τ(n)

であり、とくに τ(1) = 1 のものがラマヌジャンのタウ函数と呼ばれる。

参考文献

Serre, Jean-Pierre, A Course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, No. 7, Springer-Verlag, 1978. ISBN 0-387-90040-3
Shimura, Goro, An Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, Princeton University Press, 1994. ISBN 0-691-08092-5
Gelbart, Stephen, Automorphic Forms on Adele Groups, Annals of Mathematics Studies, No. 83, Princeton University Press, 1975. ISBN 0-691-08156-5