数学の p 進周期環（ピーしんしゅうきかん、英: p-adic period rings）とは、p 進数体に関係するある一群の環の総称である。p 進ホッジ理論や p 進ガロア表現の理論、岩澤理論の研究に使われる^[1][2][3]。ジャン＝マルク・フォンテーヌ（英語版）によって導入された^[4]。

p を素数、K を標数0の完備な離散付値体でその剰余体 k は完全体かつ標数が p であるものとする^[5][4][6]。例えば p 進数体 Q_p の有限次拡大などがこのような体の例である^[5]。剰余体が有限体であることは必ずしも仮定しない。これは剰余体が代数閉体である場合を扱えるようにしておくためである^[6]。

K から p 進周期環^[7]と呼ばれる環 B_dR, B_crys ^{[注 1]}, B_st が構成される（#構成参照）。B_dR は p 進周期の体^[9][10]、B_crys は crystalline period ring（直訳: クリスタリン周期環）^[11] と呼ばれることもある。これらの環は次に述べる性質を持っている。

記号^{[注 2]} 整数環が定義できる体 F に対してその整数環を 𝒪_F で表す。また体 F に対してその代数的閉包を F、絶対ガロア群を G_F で表す。C_K を K の完備化とする^{[注 3]}。W を k に係数を持つヴィット・ベクトル（英語版）の環 W(k) とし、その商体を K₀ とする。K は K₀ 上の有限次完全分岐拡大になる。P₀ を k に係数を持つヴィット・ベクトルの環 W(k) の商体とする。N を0以上の整数の集合とする。整数 n に対して Q_p(n) で G_K が円分指標の n 乗で作用する Q_p 上の1次元ベクトル空間を表す^[12]。C_K(n) も同様。

• B_dR は完備離散付値体である^[13]。その剰余体は自然に C_K と同型である。B_dR の離散付値を v、離散付値環 を B+
  dR で表す。
• 整数 i に対して付値が i 以上の元からなる B_dR の部分集合を Filⁱ B_dR で表す。これは B_dR の減少フィルトレーションを定める。
• B_dR には絶対ガロア群 G_K が作用する。剰余体への射影 Fil⁰ B_dR → C_K はこのガロア群の作用と可換である。
• G_K の作用と可換な Q_p 線型な自然な単射 Q_p(1) ↪ Fil¹ B_dR が存在する。この写像による0ではない元の像は B_dR の素元になる。この自然な単射から任意の整数 i に対し自然な単射 Q_p(i) ↪ Filⁱ B_dR が定まる。gri
  Fil B_dR と C_K(i) は G_K の作用も込みで同型である。
• BG_K
  dR = K
• B_dR は K をその有限次拡大に置き換えても変わらない。
• B+
  dR は K を含む^[14]。これは自明なことではない^[15]。
• B+
  dR は離散付値から定義される位相を持つ^[16]。これとは別に、定義 B+
  dR ≔ lim← K⊗_WW(R)/Ker(θ_K)^m に現れる W(R) の位相の逆極限から得られる位相もある。Fontaine & Ouyang (2008, p. 93) はこの位相を natural topology（直訳: 自然位相）と呼んでいる。
• 環準同型 s: C_K → B+
  dR であって θ∘s が恒等写像となるものが存在する。ここで θ は B+
  dR からその剰余体 C_K への自然な準同型である。しかし一意には定まらず G_K の作用と可換にもならない。

• B_crys は G_K 作用に関して閉じている B_dR の部分環である^[13]。体の部分環なので整域である^[17]。
• B_crys は P₀ と Q_p(i) を含む（i は任意の整数）^[13]。
• B_crys は B_dR の減少フィルトレーションから誘導される減少フィルトレーションを持つ。このフィルトレーションに関して gri
  Fil B_crys = gri
  Fil B_dR が任意の整数 i に対して成り立つ。これは形式的ローラン級数環 C⟦X⟧[X⁻¹] と係数の絶対値が急減少するべき級数からなるその部分環との関係に似ている。
• B_crys はフロベニウスと呼ばれる単射自己準同型 φ: B_crys → B_crys を持つ。これは次の性質を持つ。
  • P₀ のフロベニウスに関して半線型。
  • G_K の作用と可換。
  • t ∈ Q_p(1) ⊂ B_crys に対して φ(t) = pt が成り立つ。
  • Fil⁰ B_dR ∩ Bφ=1
    crys = Q_p
• BG_K
  crys = K₀
• B_crys も K をその有限次拡大に置き換えても変わらない。

• B_st は G_K 作用に関して閉じている B_crys を含む B_dR の部分環である^[18]。体の部分環なので整域である^[17]。
• B_st は u_s と書かれる一つの元で B_crys 上生成される。u_s は B_crys 上超越的なので^[19]、B_st は B_crys 上の一変数多項式環と同型な環である^[18]。u_s は K の素元 π の取り方によるので、B_st はこの素元の取り方に依存する環である。
• B_st はフロベニウスと呼ばれる単射自己準同型 φ: B_st → B_st を持つ。フロベニウスの作用は B_crys 上では B_crys のフロベニウスと同じ。u_s には φ(u_s) = pu_s で作用する。フロベニウスは G_K の作用と可換である。
• B_st はモノドロミー作用素と呼ばれる B_crys 上の導分（英語版） N を持つ。N は N(u_s) = 1 で定義され、G_K の作用と可換である。
• フロベニウスとモノドロミー作用素は関係式 Nφ = pφN を満たす。
• BG_K
  st = K₀
• BN=0
  st = B_crys
• Fil⁰ B_dR ∩ BN=0, φ=1
  st = Q_p
• B_st は B_dR への埋め込みを忘れれば K をその有限次拡大に置き換えても変わらず（モノドロミー作用素は分岐指数に応じて変わる）、K の素元 π の取り方にも依らない。

p 進周期環は次のように構成される。

環 R を射影系

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\bar {K}}/p{\mathcal {O}}_{\bar {K}}\xleftarrow {(\cdot )^{p}} {\mathcal {O}}_{\bar {K}}/p{\mathcal {O}}_{\bar {K}}\xleftarrow {(\cdot )^{p}} {\mathcal {O}}_{\bar {K}}/p{\mathcal {O}}_{\bar {K}}\xleftarrow {(\cdot )^{p}} \cdots }$

の逆極限 R = lim← 𝒪_K / p𝒪_K として定義する^[20]。つまり、R は集合としては 𝒪_K / p𝒪_K の元の無限列 (a₀, a₁, a₂, ...) であって a_n = ap
n+1 を満たすもの全体である。また、環の加法や乗法は成分ごとに定義されたものである。

W(R) を R を係数とするヴィット・ベクトルのなす環とする。W(R) から K の完備化 C_K の整数環 𝒪_CK への写像 θ を

${\displaystyle \theta ((a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ))=\lim _{m\to \infty }{\tilde {a}}_{(0,m)}^{p^{m}}+p{\tilde {a}}_{(1,m)}^{p^{m-1}}+p^{2}{\tilde {a}}_{(2,m)}^{p^{m-2}}+\cdots +p^{m}{\tilde {a}}_{(m,m)}}$

で定義する。ここで、~a_{n, m} ∈ 𝒪_K は、W(R) の元 (a₀, a₁, a₂, ...) に対しその第 n 成分 a_n = (a_{n, 0}, a_{n, 1}, a_{n, 2}, ...) の第 m 成分 a_{n, m} ∈ 𝒪_K / p𝒪_K を 𝒪_K に持ち上げたものである。θ は全射の環準同型である。また、その核は単項イデアルである。

R は自然に k 代数になる^[21]ので W(R) は自然に W ≔ W(k) 代数になる。θ を K 線型に延長した写像 K⊗_WW(R) → C_K を θ_K とし、B+
dR を

${\displaystyle B_{\mathrm {dR} }^{+}=\varprojlim _{m}(K\otimes _{W}W(R))/\mathrm {Ker} (\theta _{K})^{m}}$

で定義する。その商体を B_dR とする。

記号は前節と同じとする^[14]。ξ_p を準同型 θ: W(R) → 𝒪_CK の核の生成元とし、Q_p ⊗_Zp W(R) の部分環 W^PD(R) を

${\displaystyle W^{\mathrm {PD} }(R):=W(R)[\xi _{p}^{n}/n!(n\in \mathbb {N} )]}$

で定義する。W^PD(R) の p 進完備化を A_crys とし、B+
crys を

${\displaystyle B_{\mathrm {crys} }^{+}:=A_{\mathrm {crys} }[p^{-1}]}$

で定義する^[22]。B+
crys は B_dR に埋め込める。t を自然な単射 Q_p(1) ↪ Fil¹ B_dR による0ではない元の像とする^[23]。B_crys を

${\displaystyle B_{\mathrm {crys} }=B_{\mathrm {crys} }^{+}[t^{-1}]}$

で定義する。

記号は前節と同じとする^[19]。π を K の素元として、s = (s_n)_n∈N を π の 𝒪_K における p べき乗根の系、つまり s₀ = π, sp
n+1 = s_n を満たすような 𝒪_K の元の列とする。s ≔ (s_n mod p)_{n ∈ N}と置くと、これは R の元を定める。W(R) の元 [s] を s のタイヒミュラー代表元（英語版）とし、B+
dR の元 u_s を

${\displaystyle u_{s}:=\log(\pi ^{-1}\otimes [{\underline {s}}])=\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}n^{-1}(\pi ^{-1}\otimes [{\underline {s}}]-1)^{n}}$

で定義する。右辺の級数は θ([s]) = π であることにより θ(π⁻¹ ⊗ [s]) = 1 が成り立つので B+
dR で収束する。

B_st を B_crys 上 u_s で生成される環として定義する。

• 辻雄「Introduction to the theory of Fontaine on p-adic Galois representations (Algebraic Number Theory and Related Topics)」『数理解析研究所講究録』第1097巻、京都大学数理解析研究所、1999年4月、1-26頁、CRID 1050001202297633536、hdl:2433/63025、ISSN 1880-2818。 
• 中村健太郎「p-進表現論入門」『l進ガロア表現とガロア変形の整数論』（PDF） 17巻〈l進ガロア表現とガロア変形の整数論報告集〉、2010年。 NCID BB01563597。http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/nakamura4.pdf。「参照先は「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」報告集の原稿ページ」 
• Colmez, Pierre (2004), Fontaine's rings and p-adic L-functions, http://www.math.jussieu.fr/~colmez/tsinghua.pdf 
• Fontaine, Jean-Marc; Ouyang, Yi (2008). Theory of p-adic Galois representations. https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~fontaine/galoisrep.pdf 2023年3月21日閲覧。 
• Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009). CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory. http://math.bu.edu/people/jsweinst/AWS/Files/BrinonConradPAdicHodgeTheory.pdf 2023年3月21日閲覧。