この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "要素内補間" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2011年10月)

要素内補間（ようそないほかん）とは、数値解析において要素の各節点の既知量から、要素内の値を補間して求めることをいう。この要素内補間は、内挿とも呼ばれることがある。要素内補間は、例えば地図の等高線、CAD、CAE、CGなど、要素が使用される図形処理において、要素内の任意の位置の値を計算する際にも使用される。

与えられた節点情報のみ（要素情報は使用しない）から補間する手法もあるが、これらは本説明に含まれない。

要素には、線分（2節点）、3角形（3節点）、4面体（4節点）などがある。

線分要素内の点p は、節点p₀, p₁ により

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {p}}_{0}+({\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{0})u}$

と表せる。ここで局所座標u は 0 < u < 1 を満たす実数で、

${\displaystyle u={\frac {|p-p_{0}|}{|p_{1}-p_{0}|}}}$

である。直感的には、基点を p₀ として、そこから p₁ までの距離の比率 u で線分内の座標値 p を求めたことになる。

• u = 0 の場合には点 p は p₀ を示し、u = 1 の場合には p₁ を示す。
• 前述の表現は、直線のパラメトリックまたは、媒介変数u による定義と呼ばれることもある。

全体座標系と局所座標系の関係と同様に、節点 p₀, p₁ での各値を C₀, C₁ とし線形補間すると、点 p での値 C は

${\displaystyle C=C_{0}+(C_{1}-C_{0})u}$

と表せる。

節点p₀ (5, 5, 0), p₁ (10, 10, 0) で各節点の値がそれぞれC₀ = 10, C₁ = 20 の場合に、線分の中点p (15/2, 15/2, 0) での値C は、

${\displaystyle u={\frac {|{\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {p}}_{0}|}{|{\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{0}|}}=0.5}$

より

${\displaystyle C=C_{0}+(C_{1}-C_{0})u=15}$

になる。

点 p₀ を原点とする、3角形で構成される局所座標系は、基底ベクトル

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {e}}_{u}&={\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{0}\\{\boldsymbol {e}}_{v}&={\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{0}\\\end{aligned}}}$

から得られ、全体座標系への変換行列は、点 p の局所座標系の座標を u_p, v_p 、全体座標系の座標を x_p, y_p, z_p とすると以下の通りとなる。

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {p}}_{0}+u_{p}{\boldsymbol {e}}_{u}+v_{p}{\boldsymbol {e}}_{v}}$

または成分で表せば、

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}x_{p}\\y_{p}\\z_{p}\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}x_{p0}\\y_{p0}\\z_{p0}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{ccc}x_{eu}&x_{ev}\\y_{eu}&y_{ev}\\z_{eu}&z_{ev}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u_{p}\\v_{p}\end{array}}\right)}$

節点p₀, p₁, p₂ での各値をC₀, C₁, C₂とすると、要素内の点p での値C は

${\displaystyle C=C_{0}+u_{p}(C_{1}-C_{0})+v_{p}(C_{2}-C_{0})}$

と表せる。ここでu_p, v_p は点p の局所座標系での座標である。

• u_p = 0, v_p = 0 の場合には、C = C₀ （p₀ の値）を示す。
• u_p = 1, v_p = 0 の場合には、C = C₁ （p₁ の値）を示す。
• u_p = 0, v_p = 1 の場合には、C = C₂ （p₂ の値）を示す。
• u_p, v_p ≥ 0 かつ u_p + v_p ≤ 1 の場合には、点p は要素の内部に存在する。

節点座標がp₀ (0, 0, 0), p₁ (5, 0, 0), p₂ (5, 5, 0) とし、各節点の既知量は、それぞれC₀ = 10, C₁ = 20,C₂ = 30とすると、

1. 重心位置での値

   重心位置p_G の座標は (10/3, 5/3, 0) で、全体座標系から局所座標系での座標を求めると、(u_G, v_G ) = (1/3, 1/3) となる。これを補間式にあてはめると C _G = 20 となる。重心位置のため、平均値 (C₀ + C₁ + C₂ ) / 3と同じである。

2. p₁ とp₂ の中点位置座標での値

   p₁ とp₂ の中点位置p₁₂ の全体座標系での座標は (5, 5/2, 0) で、全体座標系から局所座標系での座標 (u₁₂, v₁₂ ) を求めると、(1/2, 1/2) となる。これを補間式にあてはめると C₁₂ = 25 となる。

4面体で構成される局所座標系は、基底ベクトル (e_u, e_v, e_w ) から得られ、全体座標系への変換行列は、局所座標系の座標をu_p, v_p, w_p と置くと以下の通りとなる。

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {p}}_{0}+u_{p}{\boldsymbol {e}}_{u}+v_{p}{\boldsymbol {e}}_{v}+w_{p}{\boldsymbol {e}}_{w}}$

または成分で表せば、

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}x_{p}\\y_{p}\\z_{p}\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}x_{p0}\\y_{p0}\\z_{p0}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{ccc}x_{eu}&x_{ev}&x_{ew}\\y_{eu}&y_{ev}&y_{ew}\\z_{eu}&z_{ev}&z_{ew}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u_{p}\\v_{p}\\w_{p}\end{array}}\right)}$

ただし

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {e}}_{u}={\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{0}\\&{\boldsymbol {e}}_{v}={\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{0}\\&{\boldsymbol {e}}_{w}={\boldsymbol {p}}_{3}-{\boldsymbol {p}}_{0}\end{aligned}}}$

である。

全体座標系から局所座標系への変換は、局所座標系から全体座標系への変換行列の逆行列を求めることで得られる。

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}u_{p}\\v_{p}\\w_{p}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}x_{eu}&x_{ev}&x_{ew}\\y_{eu}&y_{ev}&y_{ew}\\z_{eu}&z_{ev}&z_{ew}\end{array}}\right)^{-1}\left(\left({\begin{array}{c}x_{p}\\y_{p}\\z_{p}\\\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}x_{p0}\\y_{p0}\\z_{p0}\end{array}}\right)\right)}$

節点p₀, p₁, p₂, p₃ での各値をC₀, C₁, C₂, C₃ とすると、点p の値C は

${\displaystyle C=C_{0}+u_{p}(C_{1}-C_{0})+v_{p}(C_{2}-C_{0})+w_{p}(C_{3}-C_{0})}$

と表せる。ここでu_p, v_p, w_p は点p の局所座標系での座標である。

• u = 0, v = 0, w = 0 の場合には、C = C₀ （p₀ の値）を示す。
• u = 1, v = 0, w = 0 の場合には、C = C₁ （p₁ の値）を示す。
• u = 0, v = 1, w = 0 の場合には、C = C₂ （p₂ の値）を示す。
• u = 0, v = 0, w = 1 の場合には、C = C₃ （p₃ の値）を示す。
• u, v, w ≥ 0 かつ u + v + w ≤ 1 の場合には、点p は要素の内部に存在する。

節点座標がp₀ (0, 0, 0), p₁ (5, 0, 0), p₂ (5, 5, 0), p₃ (0, 0, 5)、各節点の既知量はそれぞれC₀ = 10, C₁ = 20, C₂ = 30, C₃ = 40 とする。

このとき、重心位置p_G での座標は、(5/2, 5/4, 5/4) で、全体座標系から局所座標系での座標を求めると、 (u_G, v_G, w_G ) = (1/4, 1/4, 1/4)となる。これを補間式にあてはめるとC = 25 となる。重心位置のため、平均値 (C₀ + C₁ + C₂ + C₃) / 4 と同じになる。

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