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数学では、標準特異点 (canonical singularities)は、射影多様体 の標準モデルの特異点として現れ、端末特異点 (terminal singularities)は極小モデル の特異点として現れる特別な場合である。それらは Reid (1980) により導入された。滑らかな極小モデルは存在せず、従って、必然的に端末特異点である特異点を持たねばならないので、端末特異点は極小モデルプログラム で重要である。
Y を標準クラス KY が Q -カルティエであるような正規多様体とし、f:X→Y が Y の特異点解消とすると、
K
X
=
f
∗ ∗ -->
(
K
Y
)
+
∑ ∑ -->
i
a
i
E
i
{\displaystyle \displaystyle K_{X}=f^{*}(K_{Y})+\sum _{i}a_{i}E_{i}}
となる。ここに和は既約な例外因子を渡るとし、ai は有理数で、ディスククレパンシー(discrepancy)と呼ぶ。
そのとき、Y の特異点を次のように呼ぶ。
全ての i に対し、ai > 0 のとき、端末 (terminal)
全ての i に対し、ai ≥ 0 のとき、標準 (canonical)
全ての i に対し、ai > −1 のとき、対数端末 (log terminal)
全ての i に対し、ai ≥ −1 のとき、対数標準 (log canonical)
射影多様体 V の特異点が標準的 とは、多様体が正規 （英語版 ） 標準ラインバンドル のあるべきが、V 上のラインバンドルへ拡張され、V が任意の特異点の解消 (resolution)と同じ多重種数 を持つ場合のことを言う。V が標準特異点を持つことと、相対標準モデル （英語版 ）
射影多様体 V の特異点が端末的 とは、多様体が正規 （英語版 ） 標準ラインバンドル のあるべきが、V 上のラインバンドルへ拡張され、Vm の任意の切断の引き戻しが、特異点の解消 (resolution)の例外因子 （英語版 ）
2次元端末特異点は滑らかである。多様体が端末特異点を持つと、特異点は少なくとも余次元 3 を持ち、特に、余次元 1 と 2 では端末特異点は滑らかとなる。次元 3 の場合は、端末特異点は孤立特異点であり、Mori (1985) で分類された。
2次元標準特異点は、デュヴァル特異点 (du Val singularity)と同じであり、解析的には C 2 を SL2 (C ) の有限部分群で割った商空間に同型である。
2次元の対数端末特異点は、解析的には C 2 を GL2 (C ) の有限部分群で割った商空間に同型である。
2次元対数標準特異点は Kawamata (1988) により分類されている。
より一般的には、Δ を有理数係数の素因子の形式的線型結合とするとき、ペア (X,Δ) のこれらの概念を定義することができる。ペアは次のように呼ばれる。
Discrep(X,Δ) > 0 のとき、端末 (terminal)
Discrep(X,Δ) ≥ 0 のとき、標準 (canonical)
Discrep(X,Δ) > − 1 かつ |Δ| ≤ 0 のとき、川又対数端末 (klt)(Kawamata log terminal)
Discrep(X,Δ) > − 1 のとき、純粋対数端末 (plt)(purely log terminal)
Discrep(X,Δ) ≥ − 1 のとき、対数標準 (lc)(log canonical)
Kollár, János (1989), “Minimal models of algebraic threefolds: Mori's program” , Astérisque (177): 303–326, ISSN 0303-1179 , MR 1040578 , http://www.numdam.org/item?id=SB_1988-1989__31__303_0 Kawamata, Yujiro (1988), “Crepant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its application to degenerations of surfaces” , Ann. of Math. , 2 127 (1): 93–163, doi :10.2307/1971417 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971417 , MR 924674 , https://jstor.org/stable/1971417 Mori, Shigefumi (1985), “On 3-dimensional terminal singularities” , Nagoya Mathematical Journal 98 : 43–66, ISSN 0027-7630 , MR 792770 , http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118787793 Reid, Miles (1980), “Canonical 3-folds”, Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet 1979/Algebraic Geometry, Angers, 1979 , Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, pp. 273–310, MR 605348 Reid, Miles (1987), “Young person's guide to canonical singularities”, Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985) , Proc. Sympos. Pure Math., 46 , Providence, R.I.: American Mathematical Society , pp. 345–414, MR 927963 
