極座標系

極座標系(きょくざひょうけい、: polar coordinate system)とは、n 次元ユークリッド空間 Rn 上で定義され、1 個の動径 rn − 1 個の偏角 θ1, …, θn−1 からなる座標のことである。点 S(0, 0, x3, …,xn) を除く直交座標系は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。

いろいろな極座標とその拡張

円座標

2 次元ユークリッド空間 R2 における極座標は円座標(: circular coordinates)と呼ばれ、一つの動径座標と一つの角度座標からなる、最も単純な極座標である。 平面、極座標平面(または平面極座標[1])ともいう。特異点は (r, θ) = (0, θ) 即ち、xy座標での原点 (x, y) = (0, 0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式を利用して z = re と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy平面上でを描く。

円座標 (r,θ) から直交直線座標 (x,y) への変換は

で与えられる。角度座標の範囲を −π < θ ≤ π とする場合の直交直線座標から円座標への変換は

で与えられる。原点 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため θ が定まらない。

円筒座標

円座標で (0, 0) を除く xy 平面上の全ての点を表現できるから、これに z 軸を加えれば、xyz 空間が表現できる。これを円筒座標系: cylindrical coordinate system)と言う。円筒座標空間上(rθz 空間上ともいう)で、θ, z を限定しなければ、これは xyz 空間上で円柱を描く。また、円筒座標空間上の特異点は z 軸上の全ての点である。

円筒座標 (r,θ,z) から直交直線座標 (x,y,z) への変換は

で与えられ、直交直線座標から円筒座標への変換は

で与えられる。

球座標

球座標による3次元ユークリッド空間内の点の表示

3 次元ユークリッド空間 R3 における極座標系。球面座標系: spherical coordinate system)とも呼ばれる。1 個の動径 r と 2 個の偏角 θ, φ によってなる(図を参照)。球面座標系において、動径を固定し、2 個の偏角を動かせば、xyz 空間上でを描く。

球座標から直交直線座標への変換は

で与えられ、直交直線座標から球座標への変換は

で与えられる。z-軸上 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため φ が定まらない。原点においては θ も定まらない。

積分への応用

極座標平面での長方形は、直交座標に於ける扇形の一部となる。特に θ の長さが 2π であれば、直交座標においてはの一部となる。r を 0 から +∞ とすれば、この円は直交座標平面全体となる。従って、直交座標平面全体は、極座標平面に於ける長方形、r × θ = [0, ∞) × [0, 2π) に等しい。以上のことは広義二重積分に於いて有用である。なぜなら上記から、

が導けるからである。この公式は、例えばガウス積分を求めるのに用いられる。

左辺の積分は、このままの状態で解くのは困難だが、右辺の形にすれば、

と解くことができる。

出典

  1. ^ 小出昭一郎 『物理入門コース2 解析力学』 1-1〜1-3節、岩波書店、1983年

関連項目

Read other articles:

نادي الشباب الرياضي الغازيه تأسس عام 1961 (1961) البلد لبنان  الدوري الدوري اللبناني الممتاز الطقم الأساسي الطقم الاحتياطي تعديل مصدري - تعديل   نادي الشباب الرياضي الغازيه هو نادي كرة قدم لبناني، مقره في الغازية، تأسس في 1961، يلعب في الدوري اللبناني الممتاز، وهو يلعب م�...

 

Moussa Traoré Presiden Mali ke–2Masa jabatan19 November 1968 – 26 Maret 1991 PendahuluModibo KeïtaPenggantiAmadou Toumani Touré Informasi pribadiLahir(1936-09-25)25 September 1936Kayes, Sudan Prancis (sekarang Mali)Meninggal15 September 2020(2020-09-15) (umur 83)Bamako, Mali[1]KebangsaanMaliPartai politikMiliter (kemudian UDPM)Suami/istriMariam TraoréKarier militerDinas/cabangAngkatan Darat MaliMasa dinas1960–1976PangkatMayor JenderalSunting kotak info...

 

العلاقات الباهاماسية المدغشقرية باهاماس مدغشقر   باهاماس   مدغشقر تعديل مصدري - تعديل   العلاقات الباهاماسية المدغشقرية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين باهاماس ومدغشقر.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وج�...

Синелобый амазон Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:ЗавропсидыКласс:Пт�...

 

Ruby RoseRose pada 2012LahirRuby Rose Langenheim20 Maret 1986 (umur 38)Melbourne, Victoria, AustraliaPekerjaanTelevision presenter, DJ, aktris, model, VJTahun aktif2002–sekarangSitus webrubyroseofficial.com Ruby Rose Langenheim (lahir 20 Maret 1986), lebih dikenal sebagai Ruby Rose, adalah seorang model, DJ, artis rekaman, aktris, presenter televisi, dan mantan MTV VJ asal Australia.[1] Rose muncul pertama kali di media arus utama sebagai presenter di MTV Australia. Ia ke...

 

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (November 2019) (Learn how and when to remove this message) This film-related list is incomplete; you can help by adding missing items. (August 2008) American filmsby year 1890s 1890–1899 1900s 1900 1901 1902 1903 19041905 1906 1907 1908 1909 1910s 1910 1911 1912 1913 19141915 1916 1917 1918 1919 1920s 1920 19...

Ina Kartika SariFoto diri Ina Kartika Sari Ketua DPRD Sulawesi Selatan Ke-12PetahanaMulai menjabat 21 Oktober 2019Ketua Sementara: 24 September-21 Oktober 2019PresidenJoko WidodoGubernurNurdin Abdullah Andi Sudirman SulaimanWakilSyaharuddin AlrifDarmawangsyah MuinNi'matullahMuzayyin ArifPendahuluM. RoemPenggantiPetahanaAnggota DPRD Sulawesi SelatanPetahanaMulai menjabat 24 September 2019Daerah pemilihanSULAWESI SELATAN VIMaros, Pangkajene dan Kepulauan, Barru, Kota ParepareMayorit...

 

Australian video game developer This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article contains content that is written like an advertisement. Please help improve it by removing promotional content and inappropriate external links, and by adding encyclopedic content written from a neutral point of view. (September 2012) (Learn how and when to remove this message) This article may ne...

 

2016年美國總統選舉 ← 2012 2016年11月8日 2020 → 538個選舉人團席位獲勝需270票民意調查投票率55.7%[1][2] ▲ 0.8 %   获提名人 唐納·川普 希拉莉·克林頓 政党 共和黨 民主党 家鄉州 紐約州 紐約州 竞选搭档 迈克·彭斯 蒂姆·凱恩 选举人票 304[3][4][註 1] 227[5] 胜出州/省 30 + 緬-2 20 + DC 民選得票 62,984,828[6] 65,853,514[6]...

В течение Второй мировой войны немецкие люфтваффе и советская дальняя авиация несколько раз производили бомбардировки Таллина. Первый такой случай произошёл в июне 1941 года (часть операции Барбаросса). Число бомбардировок увеличилось в 1942—1943 годах. Крупнейшие бомбарди�...

 

2022 Asian Road Cycling ChampionshipsVenue Dushanbe, TajikistanDate(s) (2022-03-25 - 2022-03-30)25–30 March 2022← 20192023 → The 2022 Asian Road Cycling Championships took place in Dushanbe, Tajikistan from 25 to 30 March 2022.[1][2] Medal summary Men Event Gold Silver Bronze Individual road race Igor Chzhan Kazakhstan Nariyuki Masuda Japan Sainbayaryn Jambaljamts Mongolia Individual time trial Yevgeniy Fedorov Kazakhstan Nariyu...

 

Daftar keuskupan di Amerika Serikat adalah sebuah daftar yang memuat dan menjabarkan pembagian terhadap wilayah administratif Gereja Katolik Roma yang dipimpin oleh seorang uskup ataupun ordinaris di Amerika Serikat. Konferensi para uskup Amerika Serikat bergabung dalam Konferensi Waligereja Amerika Serikat (USCCB). Per Mei 2020, terdapat 33 buah keuskupan agung Ritus Roma, 1 buah metropolitan Ritus Rutenia, dan 159 keuskupan sufragan (18 di antaranya merupakan Ritus Timur), 1 ordinariat mili...

Sub-discipline of human geography This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (January 2014) (Learn how and when to remove this message) You can help expand this article with text translated from the corresponding article in German. (February 2016) Click [show] for important translation instructions. View a machine-translated version of the German art...

 

Il palazzo della Veneranda Fabbrica del Duomo di Milano La Veneranda Fabbrica del Duomo di Milano è la fabbriceria della cattedrale di Milano. Dal 1387, anno della sua fondazione, si è occupata della sua costruzione, del reperimento dei fondi e dell'amministrazione. Si adopera nella conservazione e nel restauro della cattedrale, nell'attività di custodia, di servizio all'attività liturgica, nella valorizzazione e promozione del monumento, provvedendo al reperimento delle risorse necessari...

 

حملة ترعة السويس الأولى جزء من معارك الحرب العالمية الأولى سلاح الهجانة العثماني في بئر السبع 1915 م معلومات عامة التاريخ 28 يناير/كانون الثاني - 3 فبراير/شباط 1915 م الموقع قناة السويس - مصر النتيجة انتصار بريطانيا المتحاربون  الدولة العثمانية  المملكة المتحدة القادة جمال...

Arms of the Diocese of the Isles. The Bishop of the Isles or Bishop of Sodor was the ecclesiastical head of the Diocese of the Isles (or Sodor), one of Scotland's thirteen medieval bishoprics. The bishopric, encompassing both the Hebrides and Mann, probably traces its origins as an ecclesiastical unity to the careers of Olaf, King of the Isles, and Bishop Wimund. Previously, there had been numerous bishoprics and recorded bishoprics include Kingarth, Iona, Skye and Mann. There were very like...

 

2020年夏季奥林匹克运动会奖牌榜地点 日本东京都摘要金牌数最多 美国(39)银牌数最多 美国(41)铜牌数最多 美国(33)奖牌总数最多 美国(113) ← 2016 奥林匹克运动会奖牌榜 2024 → 2020年夏季奥林匹克运动会 申辦過程(申办详情) 市場開發(吉祥物) 比賽場館 轉播商 火炬傳遞 開幕式(入場旗手) 獎牌榜(獎牌得主) 比賽歷程 賽事焦...

 

Pour les articles homonymes, voir TV4 (homonymie). Cet article est une ébauche concernant une chaîne de télévision. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. TV4Logo de la chaîne suédoiseCaractéristiquesCréation 15 septembre 1990Propriétaire TV4 GroupSlogan En del av SverigePays SuèdeStatut Généraliste nationale privéeSiège social StockholmSite web www.tv4.seDiffusionAnalogique (de 1992 à 20...

American composer (1929–2022) For the American chef, see George Crum. George CrumbCrumb in 2019 attending a performance at Alice Tully Hall in honor of his 90th birthdayBornGeorge Henry Crumb Jr.(1929-10-24)24 October 1929Charleston, West Virginia, U.S.Died6 February 2022(2022-02-06) (aged 92)Media, Pennsylvania, U.S.Alma materUniversity of MichiganOccupation Composer Notable workList of compositionsAwards Pulitzer Prize for Music Grammy Award Full list Websitegeorgecrumb.net Geor...

 

Примеры текста: без кернинга (вверху), с кернингом (внизу) Ке́рнинг (англ. kerning) при наборе текста — избирательное изменение интервала между буквами в зависимости от их формы. Технология автоматического кернинга, появившаяся в полиграфии после внедрения фотонабора ...