平方三角数

平方三角数 36 は三角数および四角数で表すことができる数である。

平方三角数（へいほうさんかくすう、英: square triangular number）は平方数のうち三角数でもある自然数である。例えば 36 は6番目の平方数 6² であり、また8番目の三角数 8(8+1)/2 でもあるので平方三角数である。平方三角数は無数にあり、最小のものは 1 である。

平方三角数を小さい順に列記すると

1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, …（オンライン整数列大辞典の数列 A1110）

となる。

k 番目の平方三角数 N_k は

N_{k}={1 \over 32}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}

で与えられる。この公式は、1778年にオイラーが発見している^[1]^[2]^[3]。

公式の導出

ある自然数 N が n 番目の三角数かつ m 番目の四角数であるとすると、

{\frac {1}{2}}n(n+1)=m^{2}

である。両辺を8倍して平方完成することにより (2n + 1)² = 8m² + 1 となる。x = 2n + 1, y = 2m とおけば、ペル方程式 x² - 2y² = 1 を得る。その一般解 (x_k, y_k) は

x_{k}\pm y_{k}{\sqrt {2}}=(1\pm {\sqrt {2}})^{2k}

で与えられ、よって

x_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2}}

y_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2{\sqrt {2}}}}

である。したがって、k 番目の平方三角数 N_k = (y_k/2)² は冒頭の式で与えられる。

その他の性質

N_k は漸化式

N_{0}=0,\quad N_{1}=1,\quad N_{k+2}=34N_{k+1}-N_{k}+2

を満たす。その母関数は

{\frac {x(x+1)}{(1-x)(1-34x+x^{2})}}=x+36x^{2}+1225x^{3}+\cdots

で与えられる。

脚注

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^ Dickson 2005a, p. 16
^ Dickson 2005b, pp. 10, 16, 27
^ Euler 1813, pp. 12–13

参考文献

Dickson, L. E. (2005) [1919], History of the Theory of Numbers, Volume l: Divisibility and Primality, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-44232-7, MR0245499
Dickson, L. E. (2005) [1920], History of the Theory of Numbers, Volume. II: Diophantine Analysis, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-44233-4, MR0245500
Euler, Leonhard (1813), “Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)” (Latin), Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg 4: 3–17 2009年5月11日閲覧, "記録によれば、この論文は1778年5月4日付けでサンクトペテルブルク・アカデミーに受理された。"

関連項目

外部リンク

『{{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語
Weisstein, Eric W. "Square Triangular Number". mathworld.wolfram.com (英語).