円板被覆問題

円板被覆問題（えんばんひふくもんだい）とは、単位円板を n 枚の円板で被覆しようとするとき、被覆可能である最小の半径 r(n) を求める問題である。また、円板の半径を特定のεとし、単位円板を被覆可能な最小の個数 n を求める問題でもある^[1]。集合被覆問題の特殊な例といえる。

最適な解として、以下の様なものが知られている

n	r(n)	対称性
1	1	全方向
2	1	全方向(2枚の円板が重なっている状態）
3	${\sqrt {3}}/2$ =0.866025...	120°回転、3-鏡映
4	${\sqrt {2}}/2$ =0.707107...	90°回転、4-鏡映
5	0.609382...	1-鏡映
6	0.555905...	1-鏡映
7	$1/2$ =0.5	60°回転、6-鏡映
8	0.445041...	360/7° ≒ 51.4°回転、7-鏡映
9	${\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}$ =0.414213...	45°回転、8-鏡映
10	0.394930...	36°回転、9-鏡映
11	0.380083...	1-鏡映
12	0.361141...	120°回転、3-鏡映

被覆方法

半径約0.6の6つの円板（実践）で被覆された単位円板（破線）の例を考える。被覆するための円板の1つは中央に配置され、残りの5つはその周りに対称的に配置される。

r(7), r(8), r(9), r(10)も中央に1つの円板を配置し、残りをその周囲に並べることで求められる。そして、周囲の円が接する位置を示すθは、上記の表の「対称性」の列に示す。実際の配置は “circles covering circles”. 2017年10月30日閲覧。を参照。

脚注

^ Kershner, Richard (1939), “The number of circles covering a set”, American Journal of Mathematics 61: 665–671, doi:10.2307/2371320, MR 0000043 .

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Disk Covering Problem". mathworld.wolfram.com (英語).
Finch, S. R. "Circular Coverage Constants." §2.2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 484–489, 2003.
Illustrations of circles covering circles

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