この項目「
ループのアイソトピー 」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：
07:50, 29 September 2021 ）
修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。
ノートページ や
履歴 も参照してください。
（2023年4月 ）
数学 の 抽象代数学 分野に於いて、アイソトピー (または イソトピー 英: isotopy ) とは、ループ の代数的概念を分類するために使われる同値関係 である。
ループおよび準群のアイソトピーは、 Albert (1943 )[ 原文 1]
任意の準群は、あるループとアイソトピックである。
(
Q
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (Q,\cdot )}
(
P
,
∘ ∘ -->
)
{\displaystyle (P,\circ )}
準群 とする。
Q から P への 準群ホモトピー (英: quasigroup homotopy ) とは、 Q から P への写像の三つ組み (α , β , γ ) であって、以下の条件を満たす者である。
α α -->
(
x
)
∘ ∘ -->
β β -->
(
y
)
=
γ γ -->
(
x
⋅ ⋅ -->
y
)
∀ ∀ -->
x
,
y
∈ ∈ -->
Q
{\displaystyle \alpha (x)\circ \beta (y)=\gamma (x\cdot y)\,\quad \forall x,y\in Q}
準群の準同型 (英: quasigroup homomorphism ) とは、単に、これら三つの写像がすべて同じ写像であることと定義する。
アイソトピー (または イソトピー とも発音する、英: isotopy ) は、ホモトピーの特殊なケースであって、三つの写像 (α , β , γ ) が 全単射 である。二つの準群が アイソトピック (イソトピック 英:isotopic ) とは、それらの準群の間にアイソトピーが存在することと定義される。ラテン方格 の言葉で言い換えると、アイソトピー (α , β , γ ) は、行の置換 α 、列の置換 β 、 そして γ は、表内の P の要素集合の置換に相当する。
オートトピー (英: autotopy ) は、
(
Q
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (Q,\cdot )}
自己同型群 を部分群とする群を成す[訳語疑問点 [ 原文 2]
主アイソトピー (英: principal isotopy ) とは、アイソトピーで特に、γ が Q 上の恒等写像であること。
この場合は、二つの準群は台集合は同じでなければならないが、その乗算は異なる場合もあり得る [ 原文 3]
(
L
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (L,\cdot )}
(
K
,
∘ ∘ -->
)
{\displaystyle (K,\circ )}
(
α α -->
,
β β -->
,
γ γ -->
)
:
L
→ → -->
K
{\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ):L\to K}
(
L
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (L,\cdot )}
(
L
,
∗ ∗ -->
)
{\displaystyle (L,*)}
(
α α -->
0
,
β β -->
0
,
i
d
)
{\displaystyle (\alpha _{0},\beta _{0},id)}
同型写像
(
L
,
∗ ∗ -->
)
{\displaystyle (L,*)}
(
K
,
∘ ∘ -->
)
{\displaystyle (K,\circ )}
γ γ -->
{\displaystyle \gamma }
合成 [訳語疑問点 になっている[ 1] 実際、
α α -->
0
=
γ γ -->
− − -->
1
α α -->
{\displaystyle \alpha _{0}=\gamma ^{-1}\alpha }
β β -->
0
=
γ γ -->
− − -->
1
β β -->
{\displaystyle \beta _{0}=\gamma ^{-1}\beta }
∗ ∗ -->
{\displaystyle *}
x
∗ ∗ -->
y
=
α α -->
− − -->
1
γ γ -->
(
x
)
⋅ ⋅ -->
β β -->
− − -->
1
γ γ -->
(
y
)
{\displaystyle x*y=\alpha ^{-1}\gamma (x)\cdot \beta ^{-1}\gamma (y)}
[要検証 – ノート
(
L
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (L,\cdot )}
(
L
,
∘ ∘ -->
)
{\displaystyle (L,\circ )}
e を 単位元 of
(
L
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (L,\cdot )}
(
α α -->
,
β β -->
,
i
d
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta ,id)}
(
L
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (L,\cdot )}
(
L
,
∘ ∘ -->
)
{\displaystyle (L,\circ )}
α α -->
=
R
b
− − -->
1
{\displaystyle \alpha =R_{b}^{-1}}
β β -->
=
L
a
− − -->
1
{\displaystyle \beta =L_{a}^{-1}}
a
=
α α -->
(
e
)
{\displaystyle a=\alpha (e)}
b
=
β β -->
(
e
)
{\displaystyle b=\beta (e)}
[要検証 – ノート
ループ L が G-loop であるとは、それがすべてのループアイソトープループと同型であることと定義される[ 原文 4]
L をループ、c を L の元とする。 L の全単射 α は任意の x , y に対して、下記の恒等式を満たすこ時、c を コンパニオン要素 とする右疑似同型 (英 : right pseudo-automorphism of L with companion element c [訳語疑問点 と呼ばれる：
α α -->
(
x
y
)
c
=
α α -->
(
x
)
(
α α -->
(
y
)
c
)
{\displaystyle \alpha (xy)c=\alpha (x)(\alpha (y)c)}
同様に、左疑似同型 (英 : left pseudo-automorphisms
ループについてのある性質 P が ユニバーサル (普遍的 、英: universal ) であるとは、その性質が、アイソトピー不変であることと定義される。すなわち、ループ L においてある性質 P が成り立つか否かと、L のイソトープなループでも同様に性質 P が成り立つか否かが一致していることである。明らかに、L の主アイソトープについて P が成り立つかどうかをチェックすれば十分である。 [要検証 – ノート
例として、可換ループのアイソトープは、必ずしも可換とは限らないので、可換性 はユニバーサルではない 。
しかし、別の例として、結合性 はユニバーサルである。アーベル群 であるという性質もユニバーサルな性質である [要検証 – ノート 。
実際、任意の群は、G-loop である [要検証 – ノート 。
与えられたループ L に対して、3-net と呼ばれる 入社幾何 （英語版 ） 順序 [訳語疑問点 を固定すると、3-net はループを発生させる。
別の原点を選択したり、直線クラスを交換したりすると、非同型座標のループが発生する可能性もある [ 原文 5] 座標ループ [訳語疑問点 は常にアイソトピックである。
言い換えると、二つのループがアイソトピックであるのは、幾何学的な観点から同値であるとき、またその時に限る[ 原文 6]
代数学と幾何学の概念の間の対応は下記の通りである。
ループのオートトピーの成す群は、3-net の 共線変換 （英語版 ） 群の方向 [訳語疑問点 に対応 [ 原文 7]
疑似自己同型は、座標系の二つの軸を固定する共線変換に対応。
コンパニオン要素の集合は、共線変換群における軸のスタビライザの軌道に対応[ 原文 8]
ループが G-loop である iff. 共線変換の群の作用が 3-net の点の集合に推移的に作用するとき、またその時に限る。
性質 P がユニバーサルである iff. 原点の選択に依存しない [ 原文 9]
^ 未訳: based on his slightly earlier definition of isotopy for algebras , which was in turn inspired by work of Steenrod.
^ The set of all autotopies of a quasigroup form a group with the automorphism group as a subgroup.
^ 原文: In this case the underlying sets of the quasigroups must be the same but the multiplications may differ.
^ 原文: A loop L is a G-loop if it is isomorphic to all its loop isotopes.
^ 原文: Choosing a different origin or exchanging the line classes may result in nonisomorphic coordinate loops.
^ 原文: In other words, two loops are isotopic if and only if they are equivalent from geometric point of view .
^ 原文: The group of autotopism of the loop corresponds to the group direction preserving collineations of the 3-net.
^ 原文: The set of companion elements is the orbit of the stabilizer of the axis in the collineation group.
^ 原文: The property P is universal if and only if it is independent on the choice of the origin
^ Then it is the product of the principal isotopy
(
α α -->
0
,
β β -->
0
,
i
d
)
{\displaystyle (\alpha _{0},\beta _{0},id)}
(
L
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (L,\cdot )}
(
L
,
∗ ∗ -->
)
{\displaystyle (L,*)}
γ γ -->
{\displaystyle \gamma }
(
L
,
∗ ∗ -->
)
{\displaystyle (L,*)}
(
K
,
∘ ∘ -->
)
{\displaystyle (K,\circ )}
