マルコフ数（マルコフすう）は、マルコフのディオファントス方程式と呼ばれる以下の式
の解の一部を与える正整数x, y, zである[1][2]。マルコフ数は、ロシアの数学者アンドレイ・マルコフの名にちなんでいる。
最初のいくつかのマルコフ数を列挙する。
これらは、解の組（マルコフの3つ組）としては以下のようなものである。
マルコフ数もマルコフの3つ組も無限個存在する。マルコフのディオファントス方程式が対称であることから、マルコフの3つ組は要素を並べ替えても再び方程式の解を与える。したがって、（上記の例のように） a ≤ ≤ --> b ≤ ≤ --> c {\displaystyle a\leq b\leq c} を仮定して正規化することができる。最初の2つの3つ組を除いて、マルコフの3つ組 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} は必ず3つの相異なる整数からなる。与えられたマルコフ数 c に対して、c が最大要素であるようなマルコフの3つ組が一意に定まるとする予想がある。
マルコフ数は二分木上に配置することが可能である（図参照）。あるレベルに置かれた整数の中で最大のものは、常にほぼ下から3番目にある。解の1つが2であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、すべて奇数番目のペル数である（あるいは、 2 n 2 − − --> 1 {\displaystyle 2n^{2}-1} が平方数となるような n と言い換えてもよい）。また、解の1つが1であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、奇数番目のフィボナッチ数である。したがって、以下のようなマルコフの3つ組は無限個存在する。
ただし Fx はx 番目のフィボナッチ数とする。同様に、以下のようなマルコフの3つ組も無限個存在する。
ここで Px は x 番目のペル数とする。
奇数のマルコフ数は 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} という形であり、偶数のマルコフ数は 32 n + 2 {\displaystyle 32n+2} という形である。
あるマルコフの3つ組 (x, y, z) がわかっているとき、 ( x , y , 3 x y − − --> z ) {\displaystyle (x,y,3xy-z)} という形の3つ組もまたマルコフの3つ組である。マルコフ数は素数であるとは限らないが、マルコフの3つ組の要素は常に互いに素である。 ( x , y , 3 x y − − --> z ) {\displaystyle (x,y,3xy-z)} がマルコフの3つ組であるために、必ずしも x < y < z {\displaystyle x<y<z} が常に成り立つ必要はない。実際、要素の順序を変えずに上記の変換を2回続ければ、元のマルコフの3つ組に戻る。そこで、(1, 1, 2) から初めて y と z を入れ替えてから変換を行うという操作を続けると、フィボナッチ数からなるマルコフの3つ組が並ぶ。またx と zを入れ替えてから変換を行うという操作を続ければ、ペル数からなるマルコフの3つ組を与える。
1979年に、Don B. Zagier は n 番目のマルコフ数が近似的に
で与えられることを証明した。さらに彼は、（元のディオファントス方程式の非常に良い近似である） x 2 + y 2 + z 2 = 3 x y z + 4 / 9 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9} がf(t) = arcosh(3t/2)に対して f ( x ) + f ( y ) = f ( z ) {\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)} と書けることを示した。
n 番目のラグランジュ数（英語版）は、n 番目のマルコフ数から以下の公式によって求められる。
Japanese anime television series UFO Warrior DaiapolonScreenshot from UFO Warrior DaiapolonUFO 戦士ダイアポロン(Yūfō senshi daiaporon)GenreMecha Anime television seriesDirected byTatsuo OnoWritten byChikara MatsumotoNoboru ShiroyamaSeiji MatsuokaSōji YoshikawaTakao KoyamaStudioEikenOriginal networkTBS (part 1)Tokyo 12 Channel (part 2)Original run April 6, 1976 – February 24, 1977Episodes47 UFO Warrior Daiapolon (UFO戦士ダイアポロン, Yūfō Senshi Dai Aporon) is a J…
German politician Dieter StierDieter Stier in 2014Member of the BundestagIncumbentAssumed office 2009 Personal detailsBorn (1964-06-29) 29 June 1964 (age 59)Weißenfels, West Germany(now Germany)Political partyCDU Dieter Stier (born 29 June 1964) is a German politician. Born in Weißenfels, Saxony-Anhalt, he represents the CDU. Dieter Stier has served as a member of the Bundestag from the state of Saxony-Anhalt since 2009. Life He became member of the bundestag after the 2009 German fed…
Špindlerův Mlýn Localidad Escudo Špindlerův MlýnLocalización de Špindlerův Mlýn en República ChecaCoordenadas 50°43′34″N 15°36′34″E / 50.726196345748, 15.609547041366Entidad Localidad • País República Checa • Región Hradec Králové • Distrito TrutnovSuperficie • Total 76,94 km² Altitud • Media 718 m s. n. m.Población (1 de enero de 2023) • Total 1117 hab. • Densid…
Voor in beroep gaan, zie Hoger beroep. Beroepen op een negentiende-eeuwse centsprent: papiermaker, graveur, boekdrukker, boekbinder, apotheker, goudsmid, koperslager, klokkengieter, hoedenmaker, kapper, verver, leerlooier, glasblazer, wagenmaker, zadelmaker, pottenbakker, schoenmaker, kleermaker, schilder en wever. Een beroep of vak, ook wel aangeduid als stiel, metier (van het Franse 'métier') of professie, is een samenhangend geheel van arbeidstaken die voor de uitvoering een bepaalde vakkenn…
يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018) تجمع السدره - قرية - تقسيم إداري البلد اليمن المحافظة محافظة أبين المديرية مديرية أحور العز
Montañas Elk Elk Mountains Ubicación geográficaContinente América del NorteÁrea protegida Gunnison National Forest y White River National ForestCordillera Montañas RocosasCoordenadas 39°00′35″N 106°51′14″O / 39.0097, -106.854Ubicación administrativaPaís Estados UnidosDivisión ColoradoSubdivisión Condados de Eagle, Gunnison y PitkinCaracterísticasLímites Cordillera Sawatch y montañas West ElkMáxima cota Castle Peak (14 265 pies (4,35 km…
Cet article est une ébauche concernant le Concours Eurovision de la chanson et la Turquie. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) ; pour plus d’indications, visitez le projet Eurovision. Turquieau Concours Eurovision 2007 Données clés Pays Turquie Chanson Shake It Up Shekerim Interprète Kenan Doğulu Compositeur Kenan Doğulu Parolier Kenan Doğulu Langue Anglais,Turc Sélection nationale Type de sélection Jury Date 1er février 2007 Lieu Tur…
هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (يونيو 2021) مزدوجة المياسم (بالإنجليزية: Diplostigmaty) يشير، في علم النبات، إلى وجود ميسم إضافية على طول قلم الزهرة.[1] هذا الشرط معروف من جنس سيبيا.[2] ويُعْتَقد أنها تو…
第18步兵師第18摩托化步兵師第18裝甲擲彈兵師18. Infanterie-Division1942年6月，俄羅斯前線的第18步兵師官兵存在時期1934年10月1日至1945年5月8日國家或地區 納粹德國部門陸軍種類步兵功能摩托化步兵規模師駐軍／總部利格尼茨標識师徽章 第18步兵師（德語：18. Infanterie-Division）是威瑪共和國防衛軍陸軍、納粹德國國防軍陸軍的一個步兵師。該師於1934年10月在利格尼茨組建[1]…
Huerfano County Courthouse and Jail in Walsenburg (2012). Das Courthouse des County wurde 1904 errichtet, das benachbarte Gefängnis acht Jahre zuvor. Beide Gebäude wurden gemeinsam im April 1973 als erstes Objekt des County in das NRHP aufgenommen.[1] Verwaltung US-Bundesstaat: Colorado Verwaltungssitz: Walsenburg Gründung: 1861 (Staatsgründung) Demographie Einwohner: 6.820 (Stand: 2020) Bevölkerungsdichte: 1,66 Einwohner/km2 Geographie Fläche gesamt: 4126 km² Wasserflä…
عبد المالك علي مسعود معلومات شخصية الميلاد 27 مايو 1955(1955-05-27)عنابة الوفاة 6 فبراير 2022 (عن عمر ناهز 66 عاماً)عنابة[1] مركز اللعب مدافع الجنسية الجزائر المسيرة الاحترافية1 سنوات فريق م. (هـ.) 1972–1974 حمراء عنابة 1974–1983 اتحاد الجزائر 1983–1987 اتحاد عنابة المنتخب الوطني 1974…
هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (نوفمبر 2019) إم إيه-11البلد باكستان المقاطعة كوهستانالمنطقة خيبر بختونخواجمهور الناخبين 154,620الدائرة الانتخابيةتأسست في 3 مايو 2018 تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانا
List of Soul Food Dishes Part of a series onAmerican cuisine Regional cuisines Northeastern New England New Jersey New York City Philadelphia Midwestern Chicago Michigan North Dakota Ohio Omaha St. Louis Wisconsin Mid-Atlantic Baltimore Pittsburgh Southern (list) Atlanta Cajun Floribbean Kentucky Louisiana Creole Lowcountry Houston New Orleans Texas Tex-Mex Western California California fusion Los Angeles Pacific Northwest Rocky Mountain Southwestern New Mexican Other Hawaiian Military rations P…
1999 single by Faye WongEyes on MeEyes on Me CD single coverSingle by Faye Wongfrom the album Sing and Play B-sideRed BeansReleasedFebruary 24, 1999Recorded1998[citation needed]GenrePopLabelToshiba-EMIComposer(s)Nobuo UematsuLyricist(s)Kako Someya Eyes on Me is a pop ballad performed by Hong Kong singer Faye Wong as a love theme for the video game Final Fantasy VIII. It was the first Final Fantasy pop ballad, and the music was composed by Nobuo Uematsu with English lyrics by Kako Someya.…
School of education of the University of Michigan University of MichiganSchool of EducationTypePublicSchool of educationEstablished1921Parent institutionUniversity of MichiganDeanElizabeth Birr MojeLocationAnn Arbor, MichiganCampusUrbanWebsitesoe.umich.edu The University of Michigan School of Education is the education school of the University of Michigan, a public research university in Ann Arbor, Michigan, United States. The School of Education offers undergraduate, master's, and doctoral degr…
This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: OneChanbara film – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2021) (Learn how and when to remove this template message) This article may need to be rewritten to comply with Wikipedia's quality standards. You can help. The talk page may contain sugg…
Angelo MuscoMusco dalam Fiat voluntas Dei (1936)Lahir(1872-10-18)18 Oktober 1872Catania, SisiliaMeninggal6 Oktober 1937(1937-10-06) (umur 64)Milan Angelo Musco (18 Oktober 1872 – 6 Oktober 1937) adalah seorang pemeran Italia dalam teater dan film. Ia lahir di Catania, Sisilia dari pasangan ayah Malta dan ibu Sisilia.[1] Filmografi Five to Nil (1932) The Matchmaker (1934) L'eredita dello zio buonanima (1934) God's Will Be Done (1936) The Amnesiac (1936) King of Diamon…
Ballonkorb des Phoenix mit Berson (links) und Groß, Zeichnung von Groß Phönix ist der Name eines Ballons des Deutschen Vereins zur Förderung der Luftschifffahrt, der von 1893 bis 1896 während der Berliner wissenschaftlichen Luftfahrten zur Erforschung der freien Atmosphäre eingesetzt wurde. Nach der Explosion des Vereinsballons Humboldt am 26. April 1893 hatte Kaiser Wilhelm II. für den Bau und Betrieb eines neuen Ballons noch einmal 32.000 Mark aus seinem Allerhöchsten Dispositions…
This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The Storyman – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2009) (Learn how and when to remove this template message) 2006 studio album by Chris de BurghThe StorymanStudio album by Chris de BurghReleased2006GenreRockLength58:14Labeledel RecordsProducerChris de Burg…
Railway station in Minsk, Belarus Minsk-PassazhirskyBelarusian Railway terminalView of the station from the street.General informationLocation Belarus, MinskOwned byBelarusian RailwayPlatforms5 (4 island platforms)Tracks14ConstructionParkingyesOther informationStation code140210[1]Fare zone0HistoryOpened1871[2]ElectrifiedyesServices Preceding station Belarusian Railway Following station LocationMinsk-PassazhirskyLocation within Belarus Minsk-Pasažyrski (Belaru…
Richard II, a 1947 radio production with George Ralph, Alec Guinness, Nicholas Hannen, Margaret Leighton, Ralph Richardson and Harry Andrews. Broadcast on the BBC Third Programme 11/5/1947[1] BBC Radio Drama is a London-based group within the BBC Radio operational business division of the BBC. BBC Radio Drama oversees the production and broadcast of radio dramas aired on the BBC Radio network. Radio dramas had been broadcast even before the public service company had an officially establ…
Dutch figure skater Sjoukje DijkstraSjoukje Dijkstra in 1965Full nameSjoukje Rosalinde DijkstraOther namesSjoukje KossmayerBorn (1942-01-28) 28 January 1942 (age 81)Akkrum, NetherlandsHeight1.69 m (5 ft 7 in)Figure skating careerCountryNetherlandsRetired1964 Medal record Representing Netherlands Olympic Games 1964 Innsbruck Singles 1960 Squaw Valley Singles World Championships 1964 Dortmund Singles 1963 Cortina d'Ampezzo Singles 1962 Prague Singles 1960 Vancouver Single…
Article principal : Ski alpin aux Jeux olympiques de 2018. Slalom femmes Généralités Sport Ski alpin Organisateur(s) CIO Éditions 19e Lieu(x) Pyeongchang Date 16 février 2018 à 10 h 00 puis 13 h 45 Nations 49 Participants 83 athlètes Site(s) Yongpyong, Pyeongchang Palmarès Tenant du titre Mikaela Shiffrin Vainqueur Frida Hansdotter Deuxième Wendy Holdener Troisième Katharina Gallhuber Navigation Sotchi 2014 Pékin 2022 modifier Le slalom féminin des Jeux olympiques d'hiver de 201…
Indian politician Hukumdev Narayan YadavYadav receiving the Outstanding Parliamentarian Award in 2018.Member of Parliament, Lok SabhaIn office2009-2019;1999-2004Preceded byShakeel Ahmad, INC(1998-1999 & 2004-2009)Succeeded byAshok Kumar Yadav, BJPConstituencyMadhubani Personal detailsBorn (1939-11-17) 17 November 1939 (age 84)Bijuli, DarbhangaCitizenshipIndiaNationalityIndianPolitical partyBharatiya Janata PartySpouseSudesh Yadav[1]Children3 including Ashok Kumar YadavResidence(…
This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Maregaon – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2016) (Learn how and when to remove this template message) Nagar Panchayat in Maharashtra, IndiaMaregaon MargoNagar PanchayatMaregaonLocation in Maharashtra, IndiaCoordinates: 20°6′0″N 78°49′0…
Route 9 redirects here. For the film, see Route 9 (film). Route 9, or Highway 9, may refer to: International E09 European route E09 E009 European route E009 Albania SH-9 Road in Albania. Argentina National Route 9 Australia New South Wales A9 (Sydney) South Australia Port River Expressway Salisbury Highway John Rice Avenue Tasmania Arthur Highway, Tasmania Austria Pyhrn Autobahn Belarus M 9 Bulgaria I-9 road (Bulgaria) Canada Alberta Highway 9 British Columbia Highway 9 Manitoba Highway 9 Ontari…
RC-ланцюг інтегрувального типу Напруга на конденсаторі в інтегрувальному RC-ланцюзі при подачі східчастого збурення (функція Гевісайда) за нульового початкового заряду на конденсаторі Перехідні процеси — процеси, що виникають в електричних ланцюгах за різних впливів, …
2003 novel by Hilari Bell This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The Goblin Wood – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2020) (Learn how and when to remove this template message) The Goblin Wood First editionAuthorHilari BellCover artistEric BowmanCountryUnited StatesLanguageEngl…
Jennifer LawrenceLahirJennifer Shrader Lawrence15 Agustus 1990 (umur 33)Kentucky, Amerika SerikatNama lainJennifer Lawrence J Law JenPekerjaanAktris · Produser Aktivis · FilantropisTahun aktif2006–SekarangSuami/istriCooke Maroney (m. 2019)Anak1Orang tuaGary Lawrence (ayah) Karen Koch Lawrence (ibu)Tanda tangan Jennifer Shrader Lawrence (lahir 15 Agustus 1990)[1] adalah aktris asal Amerika Serikat. Film-film yang dibintanginya sukses merau…
مجلس الشيوخ الأمريكي التأسيس 1789 البلد الولايات المتحدة جزء من الكونغرس الأمريكي الأعضاء 100 الموقع الإلكتروني الموقع الرسمي، والموقع الرسمي تعديل مصدري - تعديل مجلس الشيوخ الأمريكي هو الغرفة العليا في كونغرس الولايات المتحدة المكوّنِ من مجلسي الشيو…
Lokasi Pengunjung: 52.15.63.145